Hora, segundo y minuto

Question

Nunca he encontrado un problema así en MathSE, así que este es el problema:

Dado que las manecillas de hora, minutos y segundos se mueven continuamente, ¿cuánto tiempo en el período de 0:00 a 12:00 (12 horas en total) tienen estas tres manos en el mismo semicírculo?

Encontré este problema tan difícil que incluso no pude encontrar soluciones aproximadas (

Answer 1

Definir $e(t):= t \>{\rm mod}\>1$. La órbita ${\bf x}$ de las tres manos está dado por $${\bf x}:\quad t\mapsto\bigl(e(t),e(12t),e(720t)\bigr)\ .$$ En su lugar nos fijamos en la órbita ${\bf x}'=(x_1,x_2)$ de la segunda y tercera de las manos con respecto a la primera parte, dada por $${\bf x}': \quad t\mapsto\bigl(e(11t),e(719t)\bigr)\ .$$ En el $(x_1,x_2)$-plano de dibujar el fundamental el dominio $R:=\bigl[-{1\over2},{1\over2}\bigr]\times\bigl[-{1\over2},{1\over2}\bigr]$. Es fácil ver que la parte $F:$ $|x_1-x_2|\leq{1\over2}$ de $R$ (un hexágono) contiene las posiciones donde las tres manos pueden ser cubiertos por un medio disco. En esta parte se $F$ hace ${3\over4}$$R$.

Si ahora nos dibuja la relativa órbita ${\bf x}'$ a $R$, entonces podemos ver un "entramado" de $719$ líneas paralelas con pendiente ${719\over11}$$R$. El errante punto de ${\bf x}'(t)$ tiene velocidad constante. Es entonces claro que ${\bf x}'(t)$ pasa $\approx{3\over4}$ de su tiempo en $F$. Con el fin de obtener el número exacto (racional) valor de uno tendría que participar en cálculos engorrosos, que omito.

Answer 2

(Muchas gracias a Empy2 y gandalf61 para detectar un error en la primera versión! Esperemos que no van a encontrar otro :)

No una respuesta, sólo un precio aproximado:

In[141]:= hourAngle[h_, m_, s_] := 2*Pi*(h*3600 + m*60 + s)/43200;
minuteAngle[h_, m_, s_] := 2*Pi*(m*60 + s)/3600;
secondAngle[h_, m_, s_] := 2*Pi*(s)/60;
sameSemiCircle[h_, m_, s_] := Module[
   {a1, a2, a3, a1s, a2s, a3s, a1norm, a2norm, a3norm},
   a1 = hourAngle[h, m, s];
   a2 = minuteAngle[h, m, s];
   a3 = secondAngle[h, m, s];
   {a1s, a2s, a3s} = Sort[{a1, a2, a3}];
   a1norm = 0;
   a2norm = a2s - a1s;
   a3norm = a3s - a1s;
   If[a2norm >= Pi || Not[Pi < a3norm < (a2norm + Pi)], True, False]
   ];

In[145]:= count = 0;
For[i = 0, i <= 11, i++,
  For[j = 0, j <= 59, j++,
    For[k = 0, k <= 59, k++,
      If[sameSemiCircle[i, j, k], count++];
      ];
    ];
  ];
count

Out[147]= 32406

Básicamente, he comprobado todos los tiempos a partir de las 00:00:00 a las 11:59:59 con un segundo paso y comprueba si el reloj manos están en la misma semi-círculo. Sé que esto es una aproximación, porque mi tiempo es descrete, pero debe dar bastante buena estimación.

Resulta que las manos están en la misma semi-círculo para 28516 segundos de la 43200 o aprox. 75.01% del tiempo. Esto parece sospechosamente cerca de 3/4 y podría muy bien ser la respuesta final.

Una palabra acerca de la secuencia de comandos: para cualquier momento dado, es fácil calcular los ángulos entre el mediodía y las manos de reloj. Me han ordenado que los ángulos y normalizado ellos restando el más pequeño de los dos restantes. Normalizado ángulos son, digamos, $a_1=0\le a2 \le a3 \lt 2\pi$. Es como tener una parte fija al mediodía posición.

Usted tiene dos posibles situaciones:

1. Si $a_2<\pi$, el tercer ángulo debe de estar fuera de la zona sombreada si queremos que todos tres manos para estar en el mismo semicírculo
2. Si $a_2\ge\pi$, a tres manos están garantizados para estar en el mismo semicírculo, porque $a_3\ge a_2$

Que es donde está la clave de la línea de código:

If[a2norm >= Pi || Not[Pi < a3norm < (a2norm + Pi)], True, False]

El método de Monte Carlo con 2 millones elegido al azar (no descrete) veces da 75.003% hasta tres decimales.