Tasa de divergencia para la serie $\sum |\sin(n\theta) / n|$

Question

En lo siguiente consideramos la serie $$ S(N;\theta)= \sum_{n = 1}^{N} \left| \frac{\sin n\theta}{n} \right| $$ parametrizada por $\theta$. Es bien sabido que esta serie (tomando el límite $N\to\infty$) diverge para cualquier $\theta\in (0,\pi)$, pero por supuesto la serie converge trivialmente cuando $\theta$ es un múltiplo de $\pi$.

Pregunta: ¿se sabe algo acerca de la "tasa" a la cual esta serie diverge?

Nótese que no estoy preguntando acerca de la tasa en $N$: tenemos que para cualquier $\theta\in (0,\pi)$, $S(N;\theta) \approx \log N$. Lo que me interesa es la constante implícita en el signo $\approx$, la cual dependerá de $\theta$.

Más precisamente, observemos que tenemos la siguiente estimación trivial $$ S(2N;\theta) \leq \sum_{1}^{2N} \frac{1}{n} < 1 + \log 2 + \log N $$ Por otro lado, también tenemos un límite inferior bastante trivial usando la observación de que, asumiendo sin pérdida de generalidad que $\theta \leq \pi/2$, a lo sumo uno de $\{ k\theta, (k+1)\theta\}$ puede estar dentro de $(-\theta/2, \theta/2)$ cuando calculamos el módulo por $\pi$, $$ S(2N;\theta) \geq \frac12 \sin(\theta/2) \sum_1^N \frac1n \geq \frac12 \sin(\theta/2) \log N $$ Esto muestra nuestra afirmación de que $S(N;\theta)\approx_\theta \log N.

Lo que me pregunto es qué se puede decir sobre $$ f(N;\theta) = \frac{S(N;\theta)}{\log N} $$ que claramente es una función continua de $\theta$.

1. Lo anterior muestra que $\frac12 \sin(\theta/2) \leq \liminf_{N\to\infty} f(N;\theta) \leq \limsup_{N\to\infty} f(N;\theta) \leq 1$. ¿El límite de hecho existe? ¿Sabemos cuál es?
2. El límite inferior anterior muestra que $\liminf f(N;\theta)$, cerca de $\theta = 0$, tiene una asintótica lineal en $\theta$. ¿Es esto preciso? (Me atrevería a decir que no, mirando lo ineficiente que es la estimación del límite inferior). ¿Puede alguien dar una cota mejorada?

Answer 1

Dado que $\{n\theta\pmod{2\pi}\}_{n=1}^N$ está distribuido de manera uniforme en $[0,2\pi]$ cuando $\theta$ no es un múltiplo racional de $\pi$ y $N$ es suficientemente grande, y la media de $|\sin(\theta)|$ es $\frac{2}{\pi}$, esperaría que cuando $\theta$ no sea un múltiplo racional de $\pi$, asintóticamente, $$ \sum_{n=1}^N\frac{|\sin(n\theta)|}{n}\sim\frac{2}{\pi}\log(N)\tag{1} $$ La forma exacta en que $\{n\theta\pmod{2\pi}\}_{n=1}^N$ está distribuido uniformemente en $[0,2\pi]$ es difícil de precisar, por lo que aún no tengo una buena demostración de $(1)$, pero trabajaré en ello.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero espero que sea una forma de llegar a una respuesta. En primer lugar, dejemos que $\|x\|$ denote la distancia de $x$ al entero más cercano, de modo que $\|x\| = \min\{x-\lfloor x\rfloor,\lceil x\rceil-x\}$. Entonces $\|x\|/|\sin x|$ está acotado por debajo y por encima por las constantes $1$ y $\pi$. Por lo tanto, para abordar tu pregunta #2, podemos cambiar $|(\sin n\theta)/n|$ por $\|n\beta\|/n$ si queremos, donde $\beta=\theta/2\pi.

En esta formulación, el problema está mucho más claramente conectado con la expansión en fracciones continuas de $\beta$, que produce una secuencia de convergentes a $\beta$ - números racionales $r_k$, con denominadores cada vez más grandes $q_k$, que aproximan muy bien a $\theta$. Se sabe que los $q_k$ deben aumentar exponencialmente (al menos tan rápido como los números de Fibonacci), pero pueden aumentar arbitrariamente rápido si $\beta$ tiene aproximaciones racionales ridículamente buenas.

A groso modo, cuando el $n$ en tu suma está entre $q_k$ y $q_{k+1}$, deberías poder suponer que $\beta$ es igual a $r_{k+1}$ para estimar qué tan cerca está $n\beta$ al entero más cercano. Esto debería permitirte entender el comportamiento de la suma a medida que $N$ crece. (La motivación para este enfoque es que si $\beta$ es exactamente un número racional, entonces el sumando es periódico y, por lo tanto, la suma es muy predecible.)

Aunque los resultados existentes sobre fracciones continuas están más orientados hacia $\|x\|$ que hacia $|\sin x|$ como función básica, espero que los métodos se puedan aplicar también a $|\sin x|$.

Answer 3

Aquí hay una idea, pero no revisé los detalles. Reescribir $S$ como $$S(N;\theta)= \sum_{n = 1}^{N} \theta\left| \frac{\sin \theta n}{\theta n} \right|$$ da (al menos para $\theta$ pequeño) una suma integral para $$ g(N;\theta)=\int_0^{\theta N}\frac{|\sin{x}|}x\,dx, $$ Por ejemplo, cálculos dan $S(10^6;10^{-1})/g(10^6;10^{-1})=0.97\ldots$

Y para $m$ dividiendo $N$ $$g(N;2\pi /m)=2\sum_{n=1}^{2N/m-1}(-1)^{n+1}\text{Si}(n \pi )-\text{Si}(2 \pi N /m),$$ donde $\text{Si}(x)=\int_0^x\frac{\sin y}y\,dy\;$. La asíntota para la función integral del seno en el infinito es conocida: $$ \text{Si}(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos (x)}{x}-\frac{\sin (x)}{x^2}+O(x^{-2}). $$ La idea es usarla, tal vez con alguna refinación, para obtener una estimación.