Determinación de masas del estado encuadernado de una simulación de enrejado $\phi^4$

Question

Recientemente he escrito un programa en python que simula el $\phi$ a la cuarta escalar la teoría cuántica de campos en una de las 4 dimensiones de espacio-tiempo euclidiano. El lagrangiano para esta teoría es la de un libre escalar de campo más un término igual a $\frac{g}{4!}\times \phi^4$ donde $\phi$ es el campo escalar y $g$ está desnudo constante de acoplamiento.

Por la descomposición espectral de los dos puntos de la función de correlación en el espacio euclidiano de tiempo sabemos que $E(\phi(0)\phi(T))$ (donde $E$ significa que el valor esperado) va a ir como ~ $e^{-mT}$ para suficientemente grande $T$s suponiendo que el $T<\frac{L}{2}$ donde $L$ es el tamaño de la rejilla, y donde $m$ es la re-normalizado de la masa de la partícula escalar $\phi$.

Aquí está mi pregunta: ¿en cantidades puedo calcular en el entramado que me dará la masa de un potencial limitado estado de dos escalares de las partículas? Por ejemplo, la función de correlación $C(T) = E(\phi(0)\phi(T))$ me dará la masa de una partícula escalar, como $C(T) \approx e^{-mT}$.

Edit: Si quieres puedo poner mi código.

Edit2: he subido el código a github. https://github.com/chuckstables/Phi4 Por favor tengan paciencia conmigo; yo soy una especie de nuevo en python y cualquier tipo de codificación en general. Esta es una de las primeras cosas que he escrito.

Answer 1

Lo que usted va a tener que hacer es construir un par de operadores que corresponden a la creación y aniquilación de su propuesta el estado del suelo y, a continuación, un vistazo a las dos en punto de la función que el operador genera.

Por ejemplo, usted puede construir un estado asociado átomo de hidrógeno creación operador $$\Psi_{H,n\ell m}(\mathbf{R}) = \int \mathrm{d}^3r\ \psi_{n\ell m}(\mathbf{r})\, \Psi_e\left(\mathbf{R} + \frac{m_p}{m_e+m_p}\mathbf{r}\right)\, \Psi_p\left(\mathbf{R} - \frac{m_e}{m_e+m_p}\mathbf{r}\right)$$ utilizando el protón y el electrón de la creación de los operadores, $\Psi_p$$\Psi_e$, respectivamente, y $\psi_{n\ell m}$ el estándar de "estado excitado" del átomo de hidrógeno.

Ahora, críticamente, cuando se mira en el largo plazo el comportamiento de los dos puntos en función de tu operador compuesto, si se trata de un único estado limitado, usted debe encontrar el mismo tipo de $\mathrm{e}^{-mT}$ comportamiento que tiene con el sencillo de dos puntos de la función.

Si usted no tiene la capacidad para construir un perfecto compuesto operador siempre puedes buscar el espectro en el orden superior de los operadores. Observe cómo el operador compuesto de arriba es construido a partir de un determinado superposición de dos más primitivos operadores (y $\Psi_p$ es, en sí mismo, un operador compuesto...). Que te dice que el obligado en el comportamiento del estado se encuentra en el mayor orden correlators de la baja de la orden de la teoría. Así, si se examina el correlacionador $$\left\langle\phi(0+\mathbf{r}_1,0)\,\phi(0-\mathbf{r}_1,0)\,\phi(\mathbf{R}-\mathbf{r}_0,T)\, \phi(\mathbf{R} + \mathbf{r}_0,T)\right\rangle$$ usted debe encontrar un amplio espectro de comopnents que ir como $\mathrm{e}^{-mT}$ para varios valores de $m$ que corresponden a la red de energía potencial de la envolvente de los estados (es decir, $m = 2m_0 c^2 - E_B$ donde $E_B$ es el enlace enrgy del estado).

En otras palabras, usted quiere hacer una transformada inversa de Laplace en el momento de coordenadas de los 4 puntos de función en el espacio Euclidiano de tiempo y examinar los picos. No sé cuán importante es para reorganizar las coordenadas espaciales en el centro de la masa y la separación de la manera que he hecho anteriormente, pero debido a $\mathbf{R}$ es la coordenada de posición de cualquier supuesta estado unida a las partículas, parece una buena idea.

En el espacio de Minkowski-tiempo, el decaimiento exponencial de la agrupación teorema de la descomposición se sustituye con oscilaciones. Específicamente, si se mira el espacio real propagador de Feynman de la decadencia en realidad es $e^{mr}/r$ en la dirección espacial, y $e^{imT}/T$ en el tiempo de la dirección. Lo que sugiere buscando los picos de la transformada de Fourier de $T$ veces en el punto 4 de correlación para $mT\gg1$ debe producir los resultados deseados.

El pensamiento aún más, sin embargo, el espectro de frecuencia no tienen picos discretos. En su lugar se ser escrita como una suma de funciones que todo tiene un límite inferior en su apoyo (por ejemplo,$\sqrt{1+x^2}$). Cada uno de los límites más bajos corresponden a la red de reposo de la masa de energía de cada uno de los obligados eigenstate.

Siento no poder dar más detalles - yo no los conozco a todos, a mí mismo.