Tomas pena de fútbol

Question

Imagine un escenario en donde tenemos a un jugador de fútbol que está disparando tiros de pena. Él hace su primera oportunidad con una probabilidad de error $1/3$, luego de su segundo con una probabilidad de error $1/5$ y así sucesivamente, y en el $n$-th tirar la probabilidad de fallo es $1/(2n+1)$.

Durante la práctica, remata $19$ tiros consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga éxito en un número par de patadas?

Para cada lanzamiento, los respectivos probabilidad de éxito es $$1-\frac{1}{(2n+1)}= \frac{2n}{(2n+1)}$$

Para encontrar el total de la probabilidad de éxito en un número de lanzamientos, debemos agregar la probabilidad de $0$ tiros acertados, $2, 4, \cdots, 18$.

Pero el $2$ éxito de los lanzamientos pueden ser, por ejemplo, el $1$st y el $2$nd, o $4$th y el $19$th. Entonces, obviamente, vamos a multiplicar el $2$. Entonces, ¿cómo podemos calcular las probabilidades individuales?

Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

La función generadora de probabilidad para el número de fracasos es

$$ f (x) = \prod_ {n = 1} ^ {19} \frac {2n + x} {2n +1} \;. $$

La probabilidad de obtener un número par de fallas es

\begin{eqnarray} \frac{f(1)+f(-1)}2=\frac12\left(\prod{n=1}^{19}\frac{2n+1}{2n+1}+\prod{n=1}^{19}\frac{2n-1}{2n+1}\right)=\frac12\left(1+\frac1{39}\right)=\frac{20}{39}\;. \end{eqnarray }

Puesto que el número total de tiros es impar, la probabilidad de obtener un número de éxitos es

$$1-\frac{20}{39}=\frac{19}{39}\;.$$

Answer 2

Sugerencia

Tratar de trabajar por la igualdad del recurrente:

$$\left(2n+1\right)p{n}=p{n-1}+2n\left(1-p_{n-1}\right)$$

Donde la probabilidad de que él tiene éxito en un número par de patadas por tomar $n$ penas denotada por $p_{n}$.

Esto se basa en la idea de que un número par se puede lograr de dos maneras:

• un número par en los primeros esfuerzos de $n-1$ seguido de un fracaso
• un número impar en los primeros esfuerzos de $n-1$ seguido de un éxito.

Aquí $p_0=1$.