Deje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser continua en $x$ por cada $x\in I$ donde $I\subset \mathbb R$ podría ser arbitraria. No siempre existe una función de $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ diferenciable en a $I$ $F'(x) = f(x)$ por cada $x \in I$?
La definición de una primitiva es, naturalmente, definida en un intervalo. Una curiosidad matemática es entender las dificultades que se pueden encontrar al intentar definir esta noción en cualquier parte de la $\mathbb{R}$.
Una primera dificultad es tratar de encontrar una buena definición de la noción de una primitiva en cualquier parte de la $\mathbb{R}$. Ese fue el propósito de este hilo "Definición correcta de la antiderivada de la función."
Si nos preguntamos $F$ a ser diferenciable en un conjunto abierto $J$ contiene $I$, el hilo de "la Existencia de una antiderivada de una función continua en un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}$" da un contraejemplo a la pregunta.
Si $I$ es un intervalo, la respuesta a la pregunta es positiva. Si $I$ es un conjunto abierto, la respuesta a la pregunta es también positivo. (ver el comentario)
Respuestas
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Lo que es obvio es intentar $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.$$Except "trying" that is stupid, since it's clear the integral need not exist. I thought about replacing $f$ by some nicer function $g$ such that $g(x)=f(x)$ if $f$ is continuous at $x$, as in a comment to the question on MO; couldn't make that work. The lightbulb Pietor Majer had is this: Use the upper Darboux integral, which we will denote $$\ui ab f(x)\,dx.$$
La belleza de esto es que si $f:[a,b]\to\Bbb R$ es cualquier función de lo que sea, a continuación, $\ui ab f$ existe, al menos como un elemento de $[-\infty,\infty]$, y si $f$ es cualquiera limitada función, a continuación,$\ui ab f\in\Bbb R$.
Por supuesto, la parte superior de Darboux integral, probablemente, no se merece ser llamada una integral, ya que no es lineal. Pero sí conservar un ápice de linealidad:
Lema. Si $a<b<c$ $f:[a,c]\to\Bbb R$ es limitada, a continuación,$\ui acf=\ui ab f+\ui bc f$.
Prueba: Ejercicio. Fácil o no, dependiendo de quién eres. Si te quedas atascado, usted debería ser capaz de extraer de una prueba de una prueba de que $\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$ para la integral de Riemann. Tenga en cuenta que, por supuesto, usted necesita para encontrar una prueba en un contexto en el que el autor define la integral de RIemann en términos de "superior e inferior (Darboux) las sumas" en lugar de utilizar las sumas de Riemann. Yo sospechoso de la prueba en el bebé Rudin va a calificar, no estoy seguro ya que no tengo una copia.
De ello se desprende que la parte superior de Darboux integral satisface una versión de la FTC suficiente para nuestros propósitos:
Lema (UDI-FTC). Supongamos $f:(a.b)\to\Bbb R$ es limitado y $p\in(a,b)$. Definir $F:(a,b)\to\Bbb R$ $F(x)=\ui pxf(t)\,dt$ (con el convenio que $\ui\beta\alpha=-\ui\alpha\beta$). Si $f$ es continua en a $x\in(a,b)$ $F$ es diferenciable en a$x$$F'(x)=f(x)$.
Prueba: Sugerencia: El anterior lema muestra que $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\frac1h\ui x{x+h}f(t)\,dt;$$if $h$ is small then $f(t)$ is close to $f(x)$ on $[x,x+h]$ (or $[x+h,x]$, lo que tiene sentido).
Si eso no es suficiente nota que $F'(x)=f(x)$ es explicado en un poco más de detalle en la respuesta en MO.
Por supuesto, no está claro cómo eso ayuda, ya que $f$ es no acotada. Pero es claro que $f$ es "localmente acotada" en un barrio de $I$, y que eso es suficiente. (Esta es la parte donde yo estoy añadiendo detalles a la respuesta en MO, si alguien preguntaba; al menos otra persona y yo estábamos inicialmente confundido acerca de esto.)
Definición Si $f:\Bbb R\to\Bbb R$ $S\subset \Bbb R$ $f$ es localmente acotada en $S$ si para cada a $x\in S$ existe $\delta>0$ tal que $f$ está delimitada en $(x-\delta,x+\delta)$.
La trivialidad Si $f$ es localmente acotada en $S$ $K\subset S$ es compacto, a continuación, $f$ está delimitada en $K$.
Corolario (UDI-FTC v2) de La UDI-FTC mantiene por encima de si asumimos que el $f$ es localmente acotada en $(a,b)$.
Prueba: Dado $x\in(a,b)$, elija $c,d$$a<c<d<b$$x,p\in(c,d)$. Desde $f$ está delimitada en $[c,d]$ la definición de $F(s)$ tiene sentido para $s\in(c,d)$, y la prueba de la original de la UDI-FTC muestra que $F'(x)=f(x)$.
Y ahora estamos en el negocio:
Teorema. Supongamos que $f:\Bbb R\to\Bbb R$, $I\subset \Bbb R$, y $f$ es continua en a $x$ por cada $x\in I$. Existe $F:\Bbb R\to\Bbb R$ tal que $F$ es diferenciable en a $x$ $F'(x)=f(x)$ por cada $x\in I$.
Prueba. Si $x\in I$ existe un intervalo abierto $I_x$ tal que $x\in I_x$ $f$ está delimitada en $I_x$. Vamos $$V=\bigcup_{x\in I}I_x.$$So $V$ is open, $I\subconjunto V$, and $f$ is locally bounded on $V$.
Decir $V=\bigcup_kJ_k$, donde el $J_k$ son los componentes conectados de $V$. UID-FTC v2 anterior muestra que para cada una de las $k$ existe $F_k:J_k\to\Bbb R$ tal que $$F_k'(x)=f(x)\quad(x\in I\cap J_k).$$Define $F:\Bbb R\a\Bbb R$ by $$F(x)=\begin{cases}F_k(x),&(x\in J_k), \\0,&(x\notin V).\end{casos}$$
Un par de comentarios: Si la respuesta es sí, no tengo idea de cómo demostrarlo.
Edit: tal vez no todo está perdido. Dado $f:\Bbb R\to\Bbb R$ el conjunto de $x$ tal que $f$ es continua en a$x$$G_\delta$. Así, podemos asumir que el$I$$G_\delta$. Es cierto si $I$ está abierto, así que tal vez...
Por supuesto que la respuesta sería no, si usted pidió $F$ a ser diferenciable en a $\Bbb R$, por ejemplo $I=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, $f(t)=-1$ para $t<0$, $f(t)=1$ para $t>0$.
Otoh si la respuesta es que no es un contraejemplo no puede ser muy simple. Porque la respuesta es sí si $I$ es cerrado (en el que caso de que exista $g\in C(\Bbb R)$ que está de acuerdo con $f$$I$), y la respuesta es sí si $f$ a nivel local es Lebesgue integrable, en cuyo caso la integral indefinida de las obras.
