¿Hay algún método de análisis de no diferenciabilidad?

Question

No estoy seguro de si esta pregunta es correcta, si no por favor hacerme saber que me iba a eliminar.

Entiendo que una función puede ser continua pero no diferenciable. También puedo entender la existencia de la no-funciones diferenciables. La pregunta: ¿existe una 'medida' (como la distancia) entre los dos no differnetiable funciones. La palabra 'medida' aquí no debe ser tomado literalmente. Considere dos no-función derivable $f(x)$ $g(x) $ la pregunta: ¿hay una manera de comparar las dos funciones (como una medida de distancia ), que le dice a cualquiera de las $f(x)$ o $g(x)$ es más fácil para que sea derivable? Algo así como cómo medida de la función está lejos de derivable?

Answer 1

Hay Rademacher del teorema que dice que una función que es Lipschitz continua es diferenciable (en casi todas partes). Así que una manera de interpretar la pregunta es "¿cómo cerca de Lipschitz continua es una función". De Lipschitz de la continuidad de un caso específico de Hölder continuidad.

Una función es $\alpha$-Hölder continua para $\alpha\in (0,1]$ si

$$|f(x)-f(y)|<K|x-y|^\alpha$$

Si $\alpha=1$, entonces decimos que la función es de Lipschitz.

Tenga en cuenta que si $f$ $\alpha$- Hölder, entonces es $\beta$-Hölder para $\beta<\alpha$.

Así que si $f$ $.6$- Hölder y $g$ $.7$- Hölder, a continuación, $g$ está "más cerca" de ser de Lipschitz, es decir, diferenciable.

Aquí están algunas fotos de varias funciones que son de aumento de Hölder continuidad:

Hölder continuo para todos los $\alpha \in(0,0.15)$:

Hölder continuo para todos los $\alpha \in (0,0.55)$:

Hölder continuo para todos los $\alpha\in (0,0.75)$:

Hölder continuo para todos los $\alpha\in (0,0.95)$:

Nota cómo los caminos de obtener "más agradable"/más cerca de ser capaz de diferenciar.