¿Cuál es el volumen máximo que puede contener una hoja de papel?

Question

Estaba escribiendo algunos ejercicios sobre la desigualdad AM-GM y me dejé llevar por la siguiente (bastante no trivial, creo) pregunta:

Q: Doblando adecuadamente un común $210mm \times 297mm$ hoja de papel, que es la cantidad máxima de agua que tal hoja es capaz de contener?

El volumen de la óptima caja (a la derecha) es sobre $1.128l$ . Pero el volumen de la mariposa (en mi mano izquierda) parece ser mucho más grande y no estoy seguro en absoluto de la forma de la hoja doblada óptima. Es algo como un barco ?

Aclaraciones: podemos asumir que tenemos un pegamento mágico para evitar que el agua se filtre a través de las grietas, o para pegar puntos de la superficie. Soluciones en las que se cortan partes de la lámina, entonces pegados de nuevo juntos merecen ser considerados como casos separados. Por otra parte, estos casos son triviales, como señala Joriki en los comentarios que siguen. La desigualdad isoperimétrica da que el volumen máximo es $<2.072l$ .

Como señaló Rahul, aquí es una forma de realizar la configuración óptima: la capacidad máxima de la siguiente bolsa de A4+A4 supera $2.8l$ .

Answer 1

Este problema me recuerda a la teoría del campo de tensión y a los problemas relacionados con el estudio de la forma de las membranas inextensibles infladas (como los globos de helio). Lo que sigue no es ni mucho menos una solución, sino algunas ideas iniciales sobre el problema.

En primer lugar, ya que permites arrugas y pliegues, por Nash-Kuiper es suficiente considerar inmersiones cortas $$\phi:P\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad \|d\phi^Td\phi\|_2 \leq 1$$ de la hoja de papel $P$ en $\mathbb{R}^3$ La intuición es que siempre se puede "ocultar" un área añadiendo arrugas/corrientes, pero no se puede "crear" un área. De ello se deduce que podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $\phi$ envía el límite del papel $\partial P$ a una curva $\gamma$ en el avión.

Así, podemos dividir su problema en dos partes (I) dada una curva fija $\gamma$ , cuál es el volumen de la superficie que maximiza el volumen $M_{\gamma}$ con $\phi(\partial P) = \gamma$ ? (II) ¿Podemos caracterizar $\gamma$ para lo cual $M_{\gamma}$ tiene un volumen máximo?

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Consideremos el caso en el que $\gamma$ está dada. Podemos dividir $M_{\gamma}$ en

1) regiones de tensión pura, donde $d\phi^Td\phi = I$ en estas regiones $M_{\gamma}$ es, por definición, urbanizable;

2) regiones donde una dirección está en tensión y otra en compresión, $\|d\phi^Td\phi\|_2 = 1$ pero $\det d\phi^Td\phi < 1$ .

No necesitamos considerar $\|d\phi^Td\phi\|_2 < 1$ ya que en esas regiones de pura compresión, se podría aumentar el volumen manteniendo $\phi$ un mapa corto.

Veamos las regiones del tipo (2). Podemos trazar sobre estas regiones una familia de curvas $\tau$ a lo largo de la cual $\phi$ es una isometría. Como $M_{\gamma}$ maximiza el volumen, podemos imaginar la situación físicamente como sigue: la presión en el interior $M_{\gamma}$ empuja contra la superficie, y se equilibra exactamente con la tensión a lo largo de las fibras inextensibles $\tau$ . En otras palabras, para algunas tensiones $\sigma$ constante a lo largo de cada $\tau$ en todos los puntos $\tau(s)$ a lo largo de $\tau$ tenemos $$\hat{n} = \sigma \tau''(s)$$ donde $\hat{n}$ la normal de la superficie; se deduce que (1) la $\tau$ seguir las geodésicas en $M_{\gamma}$ (2) cada uno $\tau$ tiene una curvatura constante.

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Lo único que puedo decir sobre el problema (II) es que para el óptimo $\gamma$ la superficie $M_\gamma$ debe encontrarse con el plano en un ángulo recto. Pero hay muchas soluciones localmente óptimas que no lo son globalmente (por ejemplo, consideremos un medio cilindro (región de tipo 1) con dos cuartos de esfera (región de tipo 2); tiene un volumen $\approx 1.236$ litros, menos que la solución de Joriki).

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Me picó la curiosidad así que implementé una simulación de campo de tensión rápida y sucia que optimiza para $\gamma$ y $M_{\gamma}$ . El código fuente está aquí (necesita las librerías Eigen y Libigl, sólo de cabecera): https://github.com/evouga/DaurizioPaper

He aquí una representación de la solución numérica, desde arriba y desde abajo (el volumen es de aproximadamente 1,56 litros).

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EDIT 2: Un esbozo de la orientación de $\tau$ en la superficie:

Answer 2

Esto equivale a la problema de la bolsa de papel que pide el máximo volumen posible que se puede alcanzar inflando una almohada rectangular inicialmente plana de material inextensible. Si se separan los dos lados de la almohada manteniendo su forma, se obtienen (dos copias) de la hoja óptima.

Answer 3

Esto no es ciertamente óptimo, pero es relativamente sencillo de calcular y supone una mejora moderada respecto a las soluciones anteriores.

Si dejamos que los lados de la caja caigan hacia fuera, el área rectangular superior del prisma resultante aumenta hasta el primer orden mientras que la altura sólo disminuye hasta el segundo orden, por lo que hay un ángulo de inclinación óptimo no nulo para los lados.

Dejemos que $x=210\text{mm}$ sea la anchura y $y=297\text{mm}$ la longitud del papel, e introducir tres variables: la altura $h$ el ángulo de inclinación $\phi$ de los lados largos y el ángulo de inclinación $\xi$ de los lados cortos. Entonces, a la altura $\alpha h$ con $0\le\alpha\le1$ una sección rectangular del prisma de altura $h\mathrm d\alpha$ tiene volumen

$$ \left(x-2\frac h{\cos\phi}+\alpha\cdot2h\tan\phi\right)\left(y-2\frac h{\cos\xi}+\alpha\cdot2h\tan\xi\right)h\mathrm d\alpha\;, $$

e integrando sobre $\alpha$ produce el volumen

$$ \left(\left(x-2\frac h{\cos\phi}+h\tan\phi\right)\left(y-2\frac h{\cos\xi}+h\tan\xi\right)+\frac13h^2\tan\phi\tan\xi\right)h\;. $$

No veo cómo obtener una forma cerrada para los parámetros óptimos, pero los optimicé numéricamente, con el resultado

$$ h\approx47.62\text{mm}\;,\\ \phi\approx0.55112\;,\\ \xi\approx0.56838 $$

y el volumen resultante

$$ V\approx1.315679370667\,l\;. $$

Aquí hay un intento aproximado de construir esto:

P.D:

Esta es la primera foto que hice, antes de darme cuenta de que podía pegar las esquinas para obligar al papel a mantenerse en la forma del prisma. Después de ver las imágenes que salieron de La genial simulación de user7530 Ahora pienso que el papel estaba tratando de tomar la forma óptima y yo sólo estaba interfiriendo con él :-)

Answer 4

Esto puede no ser lo óptimo. Pero una solución fácil con mayor volumen que la caja. 1,14228 l. (Por supuesto que necesitamos pegarlo en la base para sujetarlo)