Supongamos que $A,B$ son $n \times n$ matrices.
Demostrar que el rango de la matriz bloque que se define como $$ \pmatrix{A& AB\\B&B+B^2} $$ es igual a $ \mbox{rank} A +\mbox{rank} B$ .
No tengo ni idea...
Respuestas
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Usuario no registrado
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Denotando la matriz de identidad por $I_n$ tenemos $$M=\pmatrix{A&AB\\B&B+B^2}=\underbrace{\pmatrix{A&0\\0&B}}_{D}\underbrace{\pmatrix{I_n&0\\I_n&I_n}}_{S}\underbrace{\pmatrix{I_n&B\\0&I_n}}_{T}.$$ Ahora es fácil ver que $S, T$ son ambos invertibles, mientras que $D$ tiene un rango igual al rango $A$ + rango $B$ Por lo tanto $M$ también. Esto demuestra también que la gama de $M\in M_{2n}(K)$ visto como un operador lineal sobre $K^n\oplus K^n$ es $\mbox{im }M=\mbox{im } D=\mbox{im }A\oplus \mbox{im }B$ .
FuzzyQ
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Aquí funciona la reducción de filas y columnas de las matrices de bloques. Primero se sustrae $B$ veces la primera columna de la segunda columna. A continuación, resta la segunda columna de la primera, obteniendo la matriz
$$C = \pmatrix{A& 0\\ 0 & B}$$
De ahí vienen las matrices en la respuesta de la Humanidad. Obsérvese que las operaciones de fila no cambian el rango de la matriz. Por lo tanto, la matriz tiene el mismo rango que $C$ y no es muy difícil ver que $C$ tiene un rango igual a $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B$ .
Lissome
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Dejemos que $C,D$ sea la forma escalonada reducida de $A$ respectivamente $B$ . Dejemos que $E,F$ sean matrices invertibles de modo que $EA=C$ y $FB=D$ .
Entonces
$$\pmatrix{E& 0\\0&F}\pmatrix{A& AB\\B&B+B^2}=\pmatrix{EA& EAB\\FB&FB+FB^2}$$
Ahora, observe que todos los principales de esta matriz aparecen o bien en $EA$ o en $FB$ . [Si una fila es $0$ en $EA$ ¿Qué se puede decir de la misma fila en $EAB$ ?, lo mismo para $FB$ ].
