Encuentre todas las soluciones a $u_{xx}+u_{yy}=0$ con un particular $u$ .

Question

Encuentre todas las soluciones a $u_{xx}+u_{yy}=0$ , donde $u=\log p(x,y)$ con $p(x,y)$ un polinomio cuadrático.

Supongamos que $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$ , he calculado $u_{xx}+u_{yy}$ , entonces todos los coeficientes en él tienen que ser cero. Pero no he podido resolver el correspondiente sistema de ecuaciones algebraicas...

Supongo que habría una forma más complicada de encontrar las soluciones. Espero sus sugerencias. Gracias.

Answer 1

El punto importante a tener en cuenta aquí es que no necesitamos trabajar en las coordenadas que nos han dado del ejercicio.

Obsérvese que si $\log p(x,y)$ es una solución, entonces $\log p(x-X, y-Y)$ también es una solución para constantes arbitrarias $X, Y$ . Esto corresponde a mover el origen. Pero nótese también que la transformación que gira el $xy$ plano alrededor del origen también crea una nueva solución. En otras palabras, podemos suponer que el polinomio tiene la forma $$p(x,y) = Ax^2 + By^2 + C,$$ Los términos lineales se destruyen desplazando el origen de forma adecuada y el término transversal mediante una rotación apropiada. Encontrar las soluciones es ahora sencillo, ya que $$ 0 = u_{xx} + u_{yy} = {p(p_{xx} + p_{yy}) - p_x^2 - p_y^2 \over p^2}$$ y así $$ (Ax^2 + By^2 + C)(2A + 2B) = 4A^2x^2 + 4B^2y^2.$$ Si $A = -B$ entonces el LHS desaparece y $A = B = 0$ dándonos una solución constante con $C$ arbitraria. De lo contrario, debemos tener $A = B$ . Por lo tanto, las únicas soluciones no constantes en estas coordenadas son $u = \log(A(x^2 + y^2)) = \log(x^2 + y^2) + \log A$ . Además, como esta solución es invariable a las rotaciones (siendo sólo función de la distancia radial $r^2 = x^2 + y^2$ ) se recupera el conjunto completo de soluciones mediante traslaciones. Por lo tanto, las únicas soluciones no constantes deben ser de la forma $$u = \log ((x-X)^2 + (y-Y)^2) + Z$$ con $X, Y, Z$ arbitraria. Puedes comprobar que todas ellas son efectivamente soluciones.