Estado de un sistema en la Mecánica Cuántica y vectores de estado

Question

Estoy tomando un curso de Mecánica Cuántica y hay algo que no estoy siendo capaz de entender completamente. En cursos más elementales de Mecánica Cuántica me han dicho que la idea de la Mecánica Cuántica es que toda la información disponible sobre una partícula está contenida en una función $ \psi : U \subset \mathbb {R}^3 \to \mathbb {C}$ cuya evolución se rige por la ecuación de Schrödinger.

La forma de entender $ \psi $ es que $| \psi |^2$ es la densidad de probabilidad de la presencia de la partícula en un vecindario de un punto. En ese caso, tenemos operadores hermitianos que son operadores lineales en el espacio de aquellas funciones que están asociadas con propiedades dinámicas de interés. Ejemplos de ello son el Hamiltoniano $ \hat {H}$ y el operador de impulso $ \hat {p}$ .

En esta imagen de las funciones de onda es incluso posible "deducir" lo que $ \hat {p}$ debe ser del requisito de que es el generador de las traducciones espaciales. De todos modos, a pesar de la habitual extrañeza de asociar una onda a una partícula, las cosas están bastante claras aquí.

Por otra parte, en el curso que estoy tomando ahora, después de revisar estas ideas, el profesor pasó a un enfoque diferente. Empezó a tratar con kets . Así que en lugar de trabajar con $ \psi $ empezó a trabajar con $ \left | \psi\right\rangle $ . Dijo que un ket es no la función $ \psi $ pero un objeto abstracto asociado con $ \psi $ que llamó el vector de estado.

Cuando introdujo el espacio de los kets, es decir, el espacio de estado $ \mathcal {E}$ He preguntado sobre ello. aquí y se dijeron dos cosas. En primer lugar, @ACuriousMind dijo que

La idea a destacar aquí es que la mecánica cuántica no necesariamente tiene lugar como "mecánica ondulatoria" en $L^2( \mathbb {R}^3)$ .

En segundo lugar, @AlfredCentauri dijo que

En cierto sentido, $ \psi (x)$ es $ \left | \psi\right\rangle $ como $v^i$ es $v$ .

De modo que parece que los valores de una función de onda son sólo componentes del vector de estado en la llamada base de posición.

Lo que aún no entiendo es la idea de los estados abstractos y los vectores de estado. Que realmente es un estado y lo que es un vector de estado en la Mecánica Cuántica ? La Mecánica Cuántica no se trata de asignar el comportamiento de las ondas a la materia con la propiedad de que el cuadrado del valor absoluto de la función de onda es una densidad de probabilidad? ¿Cuáles son esos vectores de estado en verdad y cómo se relaciona todo esto con los tratamientos introductorios habituales de la Mecánica Cuántica?

Answer 1

A estado es algo que codifica nuestro conocimiento sobre el sistema.

Y eso es todo.

Hay muchas formas de codificar un estado en la mecánica cuántica. Como función de onda ("representación de Schrödinger"), como Estados de momento de Fock ("representación de Fock"), como una matriz de densidad como un rayo en un espacio de Hilbert, como un funcional lineal en el $C^*$ -Álgebra de observables, como un punto en un espacio proyectivo de Hilbert ,...

No todas estas formas son siempre permisibles. La "como un rayo en un espacio de Hilbert", la "matriz de densidad" y la "funcional sobre el álgebra de observables" son, hasta donde yo sé, siempre posibles, mientras que, por ejemplo, la codificación como una función de onda falla para los sistemas cuánticos cuyo espacio de Hilbert es de dimensión finita (por ejemplo, los qubits) porque estos no tienen el operador de posición habitual.

La representación como matriz de densidad se generaliza a la mecánica cuántica estadística, que como un solo rayo en un espacio de Hilbert o como una función de onda no. Pero cuando dos de estas descripciones son posibles, son, al menos a nivel de rigor de los físicos, equivalentes.

Así que la pregunta "¿Qué es realmente un estado en la mecánica cuántica?" no tiene una respuesta única. O cualquier otra respuesta que no sea "depende de lo que quieras hacer con él".

Pero esto no debería sorprenderte, después de todo, es lo mismo en la mecánica clásica: Puedes tener descripciones newtonianas o lagrangianas o hamiltonianas, y aquí un estado es posición y velocidad, allí un estado es posición y momento, o incluso algunas coordenadas generalizadas que no tienen ningún significado físico directo.

No hay ninguna verdad en un estado, ya sea clásico o cuántico, más allá de que "codifica toda la información posible sobre el sistema físico de forma conveniente".

Answer 2

"¿Qué es realmente X?" es una pregunta complicada en física, especialmente cuando se trata de una teoría tan fundamental y abstracta como la mecánica cuántica. Así que puedo dar una definición matemática:

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert complejo, es decir, un espacio vectorial completo sobre $\mathbb{C}$ dotado de un producto interno positivo-definido $\langle\, \cdot\, |\, \cdot\, \rangle$ . Si no lo has entendido, no te preocupes demasiado. El "espacio vectorial con producto interior" es realmente la parte importante. Los elementos de $\mathcal{H}$ que suelen llamarse vectores, también se denominan kets en QM, y un ket se escribe $|\psi\rangle$ . El $\psi$ es lo que sea necesario escribir para identificar el vector; en el caso general, $|\psi\rangle$ es un vector arbitrario.

Como sabes, para el caso de una sola partícula que se mueve en un espacio n-dimensional, esto es equivalente al formalismo habitual de la función de onda: la función es, como dices, las "componentes" del vector de estado $|\psi\rangle$ en la base de la posición. Así que, en este caso, el formalismo del espacio de Hilbert es sólo una forma más abstracta de decir lo mismo. Es útil porque permite hablar del estado sin especificar la base. Por ejemplo, podemos tomar una función de onda $\psi(x)$ en la representación de posición (es decir, la base de posición) y transformarla de Fourier para obtener la función de onda del espacio de momento. Estas funciones corresponden al mismo ket expresado en bases diferentes.

Pero no todo sistema es una partícula que se mueve en el espacio. En sus palabras; la QM no consiste en asignar un comportamiento ondulatorio a la materia. Por ejemplo, podríamos estar interesados en el espín de la partícula. Ahora bien, el espacio de Hilbert es de dimensión finita; para una partícula de espín 1/2 tenemos $\mathcal{H} \cong \mathbb{C}^2$ (ver las Conferencias Feynman, Vol 3, para una introducción). Ahora los estados son vectores de dos componentes; podemos pensar en los vectores base $(1,0)$ y $(0,1)$ como de giro hacia arriba y hacia abajo, respectivamente. Pero tenemos que elegir un eje para esto; si no queremos, entonces tenemos que usar los vectores abstractos, exactamente como hacemos en $\mathbb{R}^n$ .

Esto es sólo un ejemplo. La cuestión es que la imagen del espacio de Hilbert / ket te permite trabajar con total abstracción; no necesitas especificar tu sistema particular. Puedes usar la misma notación y los mismos teoremas sin importar si tienes una partícula moviéndose en 3 dimensiones, o $m$ partículas que se mueven en $n$ dimensiones que tienen cada una un espín arbitrario, considerando además su acoplamiento al campo electromagnético cuántico, ... se obtiene la iea.