¿Puede el conjugado$\phi^{-1} \circ A \circ \phi$ ser lineal para$\phi$ no lineal?

Question

Más concretamente, vamos a $f\colon\mathbb C^n\to \mathbb C^n, f(z)=Az$ ser lineal, y $\phi\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^n$ ser todo y bijective, es decir,$\phi\in\text{Aut}(\mathbb C^n)$. Es posible que $\phi^{-1}\circ f\circ \phi$ es lineal, de nuevo al $\phi$ no es lineal?

Por ejemplo, si $\phi(z) = Lz+c$ es afín, entonces

$$\phi^{-1} f \phi (z) = L^{-1}ALz + L^{-1}(A-I)c $$

es lineal si y sólo si $(A-I)c = 0$. Hay ejemplos más sofisticados donde $\phi$ es realmente no-lineal?

Pregunta: ¿existe una triple $(A,B,\phi)$ donde $A\neq B$ son cuadrados matrices complejas y $\phi\in\text{Aut}(\mathbb C^n)$ toda la con $\phi'$ no constantes, tales que $$ \phi^{-1} \circ A \circ \phi=B $$ Especialmente, hay un ejemplo en donde la $A$ $B$ no son similares?

Answer 1

Sí. Para empezar, echemos $n = 2$ y

$$\phi : \left[ \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array}{c} z \\ w + f(z) \end{array} \right]$$

donde $f$ es una analítica de la función $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ a ser elegido más tarde. $\phi$ es analítica con inversa

$$\phi^{-1} : \left[ \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array}{c} z \\ w - f(z) \end{array} \right].$$

Ahora vamos a $A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]$ y vamos a escribir lo $\phi^{-1} \circ A \circ \phi$ es. Después de un poco de cálculo obtenemos

$$\phi^{-1} \circ A \circ \phi : \left[ \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array}{c} az + bw + b f(z) \\ cz + dw + d f(z) - f(az + bw + b f(z)) \end{array} \right].$$

Para deshacerse de la parte no lineal de la primera componente necesitamos establecer $b = 0$. A partir de aquí, para deshacerse de la parte no lineal de la segunda componente de la opción más fácil es establecer $d = a = f(0) = 0$. Así que, explícitamente, se puede establecer el $A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$f(z) = z^2$, dando

$$\phi^{-1} \circ A \circ \phi = A.$$