[He editado mi respuesta. Yo no creo que esta sea la mejor respuesta pero es algo razonable.]
Muchos motivar a la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann afirmando (sin apretar) que el primero tiene "mejor límite de teoremas."
Que es un poco equivocado, creo. Tienen exactamente el mismo límite de teoremas (desde un punto de vista), excepto que la integral de Lebesgue
integra funciones más. Mejor aún, cualquier teorema del límite para la integral de Riemann usualmente tiene el extra de la suposición deque
el límite de la función es integrable, mientras que el Lebesgue teorema del límite tiene la conclusión de que el límite de la función es integrable.
Sin embargo, la cuestión es vender la integral de Lebesgue sobre la base de que $L_1(\mathbb{R})$ es completa
mientras que $R_1(\mathbb{R})$ no lo es. Esto es similar a la forma en que vendemos la transición de la $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$.
Así que tengo dos parcelas en esto que podría funcionar para algunos estudiantes.
A. En una búsqueda de la motivación podría ser mejor preguntar al maestro.
Lebesgue muy específicamente dijo que su motivación para la definición y el estudio de una generalización de la integral de Riemann fue un ejemplo, publicado por Volterra en 1881, de un almacén de derivados que no es Riemann integral.
Si hay un diferenciable función de Lipschitz $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ pero es totalmente ilegal a escribir $$\int_0^1 F'(t)\,dt = F(1)-F(0)$$
entonces algo está mal con su integración en la teoría. Ningún siglo xviii, el matemático que han dudado en escribir esta identidad y la integral de Riemann prohíbe!
Para ver lo que está sucediendo con Volterra ejemplo de considerar la secuencia de las funciones
$$f_n(t)=\frac{F(x+1/n)-F(x)}{1/n}$$
que es uniformemente acotada y converge pointwise a $F'$.
Ahora de acuerdo a la teoría estándar de la integral de Lebesgue
cualquier uniformemente acotada de la secuencia de
funciones en $L_1(\mathbb{R})$ que converge pointwise es de Cauchy. Así
el
secuencia $\{f_n\}$ converge
para una función de $f$ en ese espacio. Ya que también es pointwise convergente a $F'$ nos gustaría saber que $f=F'$ en casi todas partes.
Un cálculo directo muestra que
$$F(1)-F(0)= \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(t)\,dt =
\int_0^1 F'(t)\,dt.
$$
[Escéptico estudiante dice: Es una trampa. No hicimos uso de la secuencia de Cauchy para encontrar la función de $f$, ya habíamos dado una construcción de $F$$F'$, de todos modos. Eso es como darle a una secuencia de Cauchy $\{q_n\}$ $\mathbb{Q}$ que converge a $\sqrt2$. Ya sé $\sqrt2$, y yo no necesito una secuencia de Cauchy para que me diga lo que es.]
B. Inténtelo de nuevo. Vamos a dar el siguiente problema para algunos mathematicans de los días 18, 19 y siglo 20.
Supongamos que $f_k:[0,1]\to \mathbb{R}$ es una secuencia de
continuamente diferenciable funciones, con $f_k(0)=0$ y tales que
cada una de las $f_k$ es no decreciente y supongamos que $\sum_{k=1}^\infty
f_k(x)$ converges uniformly on $[0,1]$ to a function $F$. ¿Qué es
$F'$? Tenga en cuenta que $$G_n(x)= \sum_{k=1}^n f'_k(x) \ \ (n=1,2,3,
\dots)$$ is a Cauchy sequence of continuous functions since $$
\|G_{n+p}-G_n\|_1 = \int_0^1 \left[f'_{n+1}(t) + \dots
+ f'_{n+p}(t)\right]\,dt = etc. $$
Siglo 18 matemático: no sé qué "uniforme" y que es "de Cauchy?" Pero la respuesta es clara con el término-a-término de diferenciación que nunca me ha fallado.
$$F'(x) = \sum_{k=1}^\infty f'_k(x).$$
Del siglo 19 matemático: una Tontería. Cada estudiante sabe que usted simplemente debe tener convergencia uniforme de la diferencian de la serie. Convergencia uniforme de la serie
$ \sum_{k=1}^\infty f_k(x)$ no dice nada acerca de la pointwise la convergencia o la convergencia uniforme de
$ \sum_{k=1}^\infty f'_k(x).$
Siglo 20 matemático: No, en absoluto. Tenemos una secuencia de Cauchy de funciones continuas en $L_1([0,1])$. Que proporciona exactamente la función
$$ \sum_{k=1}^\infty f'_k $$
se define como una función en $L_1([0,1])$ y resultará ser mi derivado $F'$. Con un poco más de trabajo (estándar en nuestro siglo) I también puede demostrar que, en casi cada punto de $x$,
$$F'(x) = \sum_{k=1}^\infty f'_k(x). $$
Así que tenemos una buena fórmula de diferenciación en el espacio
$$F' = \sum_{k=1}^\infty f'_k $$
así como un pointwise en casi todas partes de la fórmula
$$F'(x) = \sum_{k=1}^\infty f'_k(x) .$$
[Escéptico estudiante dice: No me impresionó! Me gusta el siglo 18 chico.]
