$k$ - endomorfismos grupales del esquema de grupo multiplicativo para$k$ un anillo conectado.

Question

Quería comprobar que para la conexión de un anillo de $k$ (es decir, un anillo conectado espectro, o, equivalentemente, sin idempotents otros de $0$$1$) en el grupo de $k$-endomorphisms del grupo multiplicativo $\mathbf{G}_m$ $k$ puede ser identificado con $\mathbf{Z}$. Tengo un contorno de esto (al menos para $k$ local) lo que sugiere que trato el caso de un campo de primera, a continuación, extender a Artin local anillos por inducción sobre la longitud, a continuación, para completar Noetherian local anillos, etc.. Pero el muy simple argumento que tengo para el caso de un campo me parece completamente general, lo que me hace creer que debe ser un error o con vistas a algo.

Utilizando la definición de la multiplicación de $\mathbf{G}_m$, se puede demostrar que $f(t)\in k[t,t^{-1}]^\times$ ($k[t,t^{-1}]$ siendo las coordenadas del anillo de $\mathbf{G}_m$) se obtiene un $k$-homomorphism si y sólo si $f(xy)=f(x)f(y)$$k[x,y,x^{-1},y^{-1}]$. Tenga en cuenta que $\mathbf{G}_m(\mathbf{G}_m)=\mathrm{Hom}_{k-\mathrm{Alg}}(k[t,t^{-1}],k[t,t^{-1}])=k[t,t^{-1}]^\times$ través $\varphi\mapsto\varphi(t)$, lo $f$ debe ser una unidad a tener un $k$-morfismos.

Ahora, si yo escribo $f=\sum_n a_n t^n$, $n$ van más de todos los de $\mathbf{Z}$, entonces la ecuación de $f(xy)=f(x)f(y)$ parece darme

$\sum_n a_n x^n y^n=\sum_{n,m} a_n a_mx^n y^m$.

Debido a $f$ es una unidad, y, en particular, distinto de cero, algunos $a_n$ debe ser distinto de cero, decir $a_{n_0}\neq 0$. Igualando los coeficientes de monomials en la ecuación anterior (usando que la monomials $x^n y^m$ $n,m\in\mathbf{Z}$ formulario $k$-base para $k[x,y,x^{-1},y^{-1}]$) $a_n^2=a_n$ todos los $n$$a_na_m=0$$n\neq m$. Desde $k$ está conectado y $a_{n_0}\neq 0$, $a_{n_0}^2=a_{n_0}$ las fuerzas de $a_{n_0}=1$. Entonces, para cualquier $m\neq n_0$, $0=a_{n_0}a_m=a_m$, por lo $f(t)=t^{n_0}$.

Hay algo mal con este argumento? He utilizado en algún lugar que $k$ es un campo?

Por cierto, también parece que la ecuación de $f(xy)=f(x)f(y)$ $f\neq 0$ implica que el $f$ es una unidad, ya que todo lo que se utilizan en la deducción de que $f(t)=t^{n_0}$ algunos $n_0$ que $f$ fue distinto de cero.

Answer 1

QiL'8 y Martin Brandenburg han juzgado la prueba, por lo tanto, en lo interesante de responder a la pregunta, estoy publicando esto como una respuesta. Parece que la prueba es correcta.