He descubierto una "prueba" de la realidad, que $\omega_1$ pueden ser contables, contradiciendo su definición. No debía de asumir axioma de elección, por lo que supongo que hay algunas partes de esta construcción, que no puede ser hecho sin ella. De todos modos, aquí está mi argumento:
Es relativamente consistente con ZF que $\omega_1$ contables de la unión de contables ordinales (aquí usted puede encontrar esta afirmación). Digamos que $\omega_1=\bigcup\alpha_n$. Para cada contables ordinal $\alpha$ podemos encontrar subconjunto $S_\alpha$ de los números reales con el fin de tipo $\alpha$. Vamos a construir conjuntos de $S_{\alpha_n}$, y sin pérdida de generalidad supongamos que $S_{\alpha_n}\subset(n,n+1)$. Ahora, si tomamos la unión de todos los conjuntos de $S_{\alpha_n}$ obtenemos un subconjunto de los números reales con el fin de tipo $\omega_1$ (a partir de nuestra hipótesis inicial en $\alpha_n$). Pero podemos demostrar que todo bien ordenado subconjunto de los reales es contable: vamos a $r_\alpha$ $\alpha$- ésimo número en este conjunto. Racionales son densos en los números reales, por lo que, como $r_\alpha<r_{\alpha+1}$, podemos encontrar racional $q_\alpha$$r_\alpha<q_\alpha<r_{\alpha+1}$. De esto se sigue que podemos inyectar $\omega_1$ $\mathbb{Q}$ mediante el uso de mapa de $\alpha\rightarrow q_\alpha$, demostrando $\omega_1$ subconjunto de contables conjunto, por lo tanto contables.
Dónde está la falla en el argumento?
