$U\subset X$ subespacio de dimensión infinita con $(U,\Vert\cdot\Vert)$ completa. Es $(X,\Vert\cdot\Vert)$ ¿también se completa con la misma norma?

Question

Como me encontré con que la completitud es equivalente a la cercanía de un subespacio si todo el espacio es completo, me preguntaba si puedo probar o refutar que la completitud de un subespacio también puede dar la completitud de todo el espacio.

Uno de los problemas fue que, al probar diferentes enfoques, la norma no era válida para el espacio más grande. También probé con ejemplos artificiales como $C([0,1])$ con el $L_2$ -que no es completa para intersecarse con alguna $L_p$ espacio para conseguir algo. Mi intuición me dice que no debería ser cierto.

¿Puede alguien ayudarme o darme una pista? Gracias de antemano.

EDITAR: Lo siento, olvidé mencionar que el subespacio NO debe ser finito. Porque, como Señor Tiburón el Desconocido mencionada, todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es completo.

Answer 1

Existe, en efecto, un contraejemplo.

Tome el campo de $p$ -número de radicales $\mathbb Q_p$ que se completa con los habituales $p$ -normativa de la adicción $\vert\vert \cdot\vert\vert_p$ (por construcción si se construye bien).

Entonces el cierre algebraico $\mathbb Q_p^a$ de $\mathbb Q_p$ no está completa.

Su finalización es $\widehat {\mathbb Q_p^a}$ y se llama El campo de Tate .

Answer 2

El ejemplo es de esta pregunta .

Consideremos el espacio de Banach $\ell^2(\mathbb{Z})$ y definir su subespacio:

$$X = \{(x_n)_{n\in\mathbb{Z}} \in \ell^2(\mathbb{Z}) : x_n \ne 0 \text{ for at most finitely many } n < 0\}$$

$(X, \|\cdot\|_2)$ no es un espacio de Banach ya que no es un subespacio cerrado de $\ell^2(\mathbb{Z})$ .

Sin embargo, $$U = \{(x_n)_{n\in\mathbb{Z}} \in \ell^2(\mathbb{Z}): x_n = 0 \text{ for all } n < 0\} \le X$$

es un subespacio completo de dimensión infinita de $X$ porque obviamente $U \cong \ell^2(\mathbb{N})$ .

Answer 3

Dejemos que $U$ sea cualquier espacio de Banach con norma $\|\cdot\|_U.$ Dejemos que $V$ sea un espacio lineal normado no completo, con norma $\|\cdot \|_V$ y origen $0_V.$

Dejemos que $X=U\times V$ con $\|(u,v)\|_X=\|u\|_U+\|v\|_V.$ Entonces $U\times \{0_V\}$ es un subespacio lineal cerrado de $X,$ y es completa porque es isométricamente isomorfa a $U.$ Pero $X$ no está completa.