Probando cosas sobre el grupo libre de la definición de la categórica.

Question

Estoy realizando Un Curso en la Teoría de Grupos por Robinson y estoy buscando algo de orientación sobre algunos de los ejercicios. Específicamente, estoy tratando de mostrar que un grupo libre de rango 2 o más tienen un trivial centro. Esto es completamente evidente en vista de la libre grupo como el grupo de reducido de palabras, pero estoy tratando de mostrar es categórica el uso de la lengua. El libro también le pide que le muestre que la imagen de la generación del sistema, que es$ \operatorname{im} \sigma \subset F$$ \sigma \colon S \to F$, genera $F$. Creo que esto se realiza mediante la suposición de que el homomorphism $\beta \colon F \to G$ es único para un determinado $\alpha \colon S \to G$. Específicamente se pide que este se muestra el uso de la definición.

Por último, estoy un poco confundido acerca de la notación en este libro. Sus escrituras la composición de las funciones de izquierda a derecha, y de una función evaluada en un elemento específico que está escrito con el elemento de la izquierda sin paréntesis. Es esta notación estándar en la Categoría de teoría?

Answer 1

Deje $F$ ser un grupo libre en $S$ $i : S \to |F|$ la unidad de la contigüidad, es decir, lo que es usally llamado la inclusión de la base (en este caso $|F|$ denota el conjunto subyacente de que el grupo $F$). Deje $F'$ ser el subgrupo de $F$ generado por (la imagen de) $i$. A continuación, tenemos una factorización de la $i = |f|k$ algunos $k : S \to |F'|$ y un monomorphism $f : F' \to F$. Por la característica universal de $(F,i)$ hay un homomorphism $g : F \to F'$ tal que $|g|i=k$. De ello se desprende $|fg|i = |f|k=i=|\mathrm{id}|i$, por lo tanto (por la singularidad, en el universal de la propiedad de $(F,i)$) $fg=\mathrm{id}$. A continuación, $f$ es surjective, es decir, $f$ es un isomorfismo, es decir, $i$ genera $F$.

Dudo que el que no es puramente pruebas categóricas que $Z(F)=1$ al $|S| \geq 2$. Para ello se necesita reducido de palabras (que, por cierto, puede ser deducido de la universal de los bienes, como se explicó por Serre en su libro los Árboles).