Encontrar un sistema equivalente de un cilindro infinitamente largo, con vector de polarización $\vec P = P\hat y$

Question

Me da un cilindro infinitamente largo, con el eje de simetría en el $z$ eje $y$ es de derecha a izquierda, y $x$ hacia nosotros.

Está polarizada con $\vec P = P\hat y$.

Mi solución manual se establece que un sistema equivalente es de dos cilindros, uno con la densidad de $\sigma_B=P $ e una $\sigma_B=-P$.

No entiendo exactamente cómo se las arreglaron los dos cilindros.

Uno en la parte superior de la otra? O van uno al lado del otro? ¿Y qué es eso?

Y si están uno al lado del otro, que uno lo asignar la carga positiva o negativa de la densidad

Answer 1

La polarización provocará un desplazamiento de la carga positiva en relación a la carga negativa en la dirección del eje y, por lo que una vista superior de los cilindros tendrá este aspecto:

Desde la polarización de los puntos de vector en el eje y positivo de la dirección, el momento dipolar eléctrico vector se apuntan en la misma dirección, lo cual nos indica que la negativa de los cargos cilindro está a la izquierda y la carga positiva de uno a la derecha ($\vec{p}$ puntos de negativa a la carga positiva)

Ahora, todo lo que tienes que hacer es encontrar el potencial de uso de los polinomios de Legendre (al menos es como Griffiths lo soluciona), luego tomar el gradiente para encontrar el campo eléctrico en el exterior y en el interior del cilindro.

Nota al margen:

Sin embargo, hay un truco que puede utilizar para encontrar el campo eléctrico debido a que el cilindro (me parece que es relevante a su pregunta, y quiero ponerlo por ahí) Nota, sin embargo, que esto sólo puede ser utilizado cuando la polarización es constante en una dirección, como en su caso. Usted puede aprovechar esta constante polarización que efectivamente se desplaza todas las cargas positivas y negativas por la misma distancia respecto a otros. A continuación, tratar la situación como la de las dos cilindros separados con un volumen constante de la densidad de carga ($\rho_0$) que el radio del cilindro de R

En el interior del cilindro

$\vec{E}$=$\frac{\rho_0 r}{2\epsilon_0}$ (Fórmula General para el campo E interior uniformemente cargada cilindro)

Así, a partir de los dos cilindros,(consulte la figura)

$\vec{E_{net}}$=$\frac{\rho_0 \vec{r}}{2\epsilon_0}-\frac{\rho_0 (\vec{r}-\delta \vec{r})}{2\epsilon_0} =\frac{\rho_0 \vec{\delta r}}{2\epsilon_0}=-\frac{\vec{P}}{2\epsilon_0}$

Fuera del cilindro

$\vec{E}$=$\frac{\rho_0 R^2}{2\epsilon_0 r}=\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 hr}$ (Fórmula General para el campo E fuera uniformemente cargada cilindro)

Así, a partir de los dos cilindros,(consulte la figura)

$\vec{E_{net}}$=$\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}(\frac{Q}{r}-\frac{Q}{r-\delta r})\hat{r}=\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}\frac{\vec{p}}{r^2}\hat{r}$, donde $\vec{p}$ es el momento dipolar neto en el volumen de $(\vec{p}=\vec{P}V)$

$\vec{E_{net}}$=$\frac{\vec{P} R^2}{2 \epsilon_0 r^2}$

Espero haber respondido a tu pregunta!