¿Qué es $\eta=i_X \delta + \delta i_X$ actuando en formas diferenciales? Aquí $\delta$ es el adjunto de Hodge generalmente el derivado exterior y $i_X$ contracción de la forma con el vector campo $X$. ¿Claramente $\eta=0$ trivial en formas de 0 y 1-formas, pero es esta de las formas de grado arbitrario?
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Muphrid
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Álgebra de Clifford, podría hacer que esta manipulación sea más fácil: la geometría de su producto de vectores (o formas) es asociativa como la cuña de producto, pero todavía tiene la métrica condiciones necesarias para la codifferential.
En clifford notación, tenemos,
$$\eta(\alpha) = X \rfloor (\nabla \rfloor \alpha) + \nabla \rfloor (X \rfloor \alpha)$$
Aquí puede ver que la contracción del operador $\rfloor$ desempeña un papel similar en la relación de $\nabla \rfloor$ $\delta$como se hace en relación a la $X \rfloor$$i_X$.
Ahora podemos utilizar la asociatividad de la geometría del producto para nuestra ventaja, teniendo en cuenta el grado $k-2$ términos de un producto en general:
$$\langle \nabla (X \alpha) \rangle_{k-2} = (\nabla \wedge X) \rfloor \alpha - (X \wedge \nabla) \rfloor \alpha = \nabla \rfloor (X \rfloor \alpha)$$
Expanda el $(X \wedge \nabla) \rfloor \alpha$ plazo como
$$\langle X \nabla \alpha \rangle_{k-2} = (X \wedge \nabla) \rfloor \alpha = X\rfloor (\nabla \rfloor \alpha)$$
Así que podemos concluir que la anticommutator es
$$\eta(\alpha) = (\nabla \wedge X) \rfloor \alpha$$
Hm, no estoy familiarizado con la forma en que esto debe ser indicado en la pura formas diferenciales. $\nabla \wedge X$ debería ser algo como $dX$, pero desde $X$ no es un formulario (es un campo de vectores), que es un poco raro. Del mismo modo, $(\nabla \wedge X) \rfloor \alpha$ debe leer como un producto en el interior de a $\alpha$, pero con el 2-vector (o una 2-forma, o una mezcla de 1-vector/1-forma) a $\alpha$.
Martijn
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Se puede verificar fácilmente que %#% $ #% % de campos del vector $$\nabla_Y \iota_X \omega = \iota_X \nablaY \omega + \iota{\nablaYX} \omega$y $X$. Para el codifferential, contamos con la fórmula $Y$ $ que sostiene cualquier marco orthonormal del $$\delta = - \sum{j=1}^n \iota_{ej} \nabla{e_j} \omega$. Por lo tanto %#% $ de #% donde hemos utilizado que $e_1, \dots, e_n$ para todo vector campos $$\delta \iotaX \omega = - \sum{j=1}^n \iota_{ej} \nabla{e_j}\iotaX \omega = - \sum{j=1}^n \iota_{e_i}\bigl(\iotaX \nabla{ei}\omega + \iota{\nabla_{ei}X} \omega \bigr) = \sum{j=1}^n \iotaX \iota{ei} \nabla{ei}\omega - \sum{j=1}^n\iota_{ei}\iota{\nabla_{e_i}X} \omega$ y $\iota_X \iota_Y = -\iota_Y \iota_X$. Esto puede ser escrito como %#% $ de #% donde $X$ $ es un vector de bi anti simétrico.
