Juego de pirata (modificado)

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Pirate_game

¿Qué ocurre si usted retira el orden de antigüedad? Cada vez que muere un pirata, escoges al azar el pirata viene a proponer una distribución.

Aquí está mi solución para 5 piratas: A: 48 B: 26 26 C: D: 0 E: 0

¿Cómo sobre para monedas de oro $ n $ y $ p $ piratas?

Answer 1

Su solución es correcta para $n=5$. Yo generalizar y expresar de manera explícita la hipótesis.

Para facilitar la composición, voy a suponer que la distribución de las 100 monedas (sólo reemplace $100$ $p$ en el siguiente, si lo desea). También asumo la probabilidad de convertirse en el promotor es uniforme (igual para todos). Por otra parte, supongo que los piratas están en riesgo neutral (esto no fue necesario en el juego original, donde no contamos con ningún riesgo). Por último, supongo que el autor sólo puede distribuir valores enteros (si la estrategia es espacio de los números reales, entonces no puede ser un equilibrio).

Indicar la cantidad en la que el autor asigna a sí mismo por $x_{i=z}$ y el vector de las asignaciones para el resto por $x_{-i,z}$ donde $z$ es el número de piratas a la izquierda. Por ejemplo, si sólo 2 piratas están a la izquierda, la asignación no los proponentes es sólo un número no negativo: $0\le x_{-i,2}\le 100$.

Vamos a resolver el juego por inducción hacia atrás. Veamos primero el caso de que sólo 2 de los piratas están a la izquierda, y el proponente $i$ ha sido determinada. El proponente, a continuación, elige $x_i=100,x_{-i,2}=0$. Que sólo debido a que 1 de cada 2 votos es suficiente para darse cuenta de la propuesta de distribución.

Ahora considere lo que el proponente debe ofrecer la si $z=3$. Los dos no los proponentes (tenga en cuenta su situación es simétrica) podría lanzar el proponente sobre la junta y compartir el tesoro. Si ellos hacen eso, esperar recompensa $1/2*100+1/2*0=50$, debido a que la probabilidad para convertirse en el promotor es $1/2$. Así, con el fin de no quedar tirado en la junta, el proponente debe ofrecer uno de ellos, al menos,$51$! Por lo tanto, $x_i=49,~x_{-i,3}=(51,0)$. (Nota, por las reglas del juego, una asignación de $50$ no será suficiente, ya que los piratas podrían entonces en lugar de tirar el proponente través de la junta de aceptar la oferta).

Ahora considere el caso de $z=4$. El 3 nonproposers esperar recompensa $1/3*0+1/3*51+1/3*49=100/3$ al lanzar el proponente sobre la junta. El autor elige $x_i=66,~x_{-i,4}=(34,0,0)$, por lo que tiene 2 de los 4 votos.

Caso $z=5$. El 4 nonproposers esperar recompensa $1/4*0+1/4*0+1/4*66+1/4*34=100/4=25$. Así que el autor elige $x_i=48,~x_{-i,5}=(26,26,0,0)$. (Exactamente lo que tiene!)

Por inducción, si $z$ piratas están a la izquierda, $z-1$ nonproposers, que esperan $100/(z-1)$ de lanzar el proponente sobre la junta. El autor elige $$x_{i=z}=\begin{cases} 100-\frac{z-1}{2}\lceil 100/(z-1)\rceil & \text{if } z \text{ odd} \\ 100-\left(\frac{z}{2}-1\right)\lceil 100/(z-1)\rceil & \text{if } z \text{ even} \\ \end{casos}$$ y $$x_{-i,z}=\begin{cases} (x_1=\lceil 100/(z-1)\rceil,\ldots,x_{(z-1)/2}=\lceil 100/(z-1)\rceil,x_{(z-1)/2+1}=0,\ldots,x_{z-1}=0) & \text{if } z \text{ odd} \\ (x_1=\lceil 100/(z-1)\rceil,\ldots,x_{z/2-1}=\lceil 100/(z-1)\rceil,x_{z/2}=0,\ldots,x_{z-1}=0) & \text{if } z \text{ even} \\ \end{casos}$$ donde $\lceil x\rceil$ es el siguiente entero más alto de $x$ (por lo tanto, si $x=50$,$\lceil x\rceil=51$). De manera informal, en el equilibrio que el autor le da a la mitad de la nonproposers $\lceil100/(z-1)\rceil$ si $z$ es impar, y si $z$ es incluso, se da la mitad menos 1 de los nonproposers $\lceil100/(z-1)\rceil$ (de modo que, con el propio voto, él consigue un empate).

Así, como en el equilibrio original, nadie es expulsado de la junta para suficientemente pequeño $n$: la primera propuesta es aceptada. Pero el proponente para lo suficientemente grande como $n$ no puede comprar los votos suficientes para sobrevivir. Para $n=103$, obtenemos $100-\frac{z-1}{2}\lceil 100/(z-1)\rceil=100-51*1=49$ (por lo que el proponente sobrevive y mantiene casi la mitad del tesoro). Para $n=1003$, obtenemos $100-\frac{z-1}{2}\lceil 100/(z-1)\rceil=100-501*1=-400$ (proponente habría que añadir 400 para comprar los votos para sobrevivir). Esto no sería un problema si el proponente se le permite la asignación de los no enteros, pero como lo escribí, cada nonproposer necesita por lo menos 1 en orden a aceptar.