Una matriz simétrica cuyo cuadrado es cero

Question

Una vez me preguntaron en un examen oral si puede haber una matriz simétrica no nula cuyo cuadrado sea cero. Después de pensarlo un poco respondí que no podía haberla porque el polinomio mínimo de tal matriz está garantizado que es $x^2$ lo que demuestra que no es diagonalizable. Tuve que aclarar que una matriz es diagonalizable si su polinomio mínimo es un producto de factores lineales distintos, y que toda matriz simétrica es diagonalizable.

Aunque todo esto es correcto, el examinador mencionó que hay un argumento más sencillo posible, pero no lo detalló. Desde entonces me he preguntado cuál podría ser ese argumento más sencillo. ¿Puede alguien dar una prueba más sencilla?

Gracias

Answer 1

El $(i,i)^{\text{th}}$ componente del cuadrado de un $n \times n$ matriz simétrica $A=(a_{ij})$ viene dada por $$\sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} = \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$ Si $A \ne 0$ entonces algunos $a_{ij} \ne 0$ y luego $(A^2)_{ii} \ne 0$ .

Answer 2

Como dijo Pete he utilizado que una matriz cuadrada simétrica es ortogonalmente diagonalizable

Una matriz cuadrada simétrica es diagonalizable, por lo que $$A=Q^{-1} D Q$$ Por lo tanto, $$A^2 =Q^{-1} D\cdot D Q$$ Nos multiplicamos con $Q^T$ de la derecha y con $Q$ desde la izquierda $$Q A^2 Q^{-1} = D^2$$ Como $A^2=0$ tenemos $$0=D^2$$ Así que el cuadrado de cada valor propio es $0$ por lo que todos los valores propios son $0$ por lo que $A$ debe ser $0$ .

Answer 3

Esto depende realmente del campo subyacente.

• Como ha señalado Erick Wong en un comentario a otra respuesta aquí, existen complejo matrices simétricas cuyos cuadrados son cero. El ejemplo que dio es $\pmatrix{1&i\\ i&-1}$ .
• Si el campo subyacente es $GF(2)$ tenemos $\pmatrix{1&1\\ 1&1}^2=0$ .
• Si se trata de real matrices simétricas, entonces $A^2=0\Rightarrow A=0$ . Muchas respuestas aquí han explicado por qué es así. Aquí añadiré otra: si $A^2=0$ entonces $0=x^TA^2x=x^TA^TAx=\|Ax\|^2$ para todo vector $x$ es decir $Ax=0$ para todos $x$ . Por lo tanto, $A=0$ .

Answer 4

Denote $A^*$ el adjunto, que es simplemente la transposición en el caso real, como supongo que es el caso aquí. Así que tu suposición es $A^*=A$ . Entonces toma el rastro:

$$0=\mbox{Trace}(A^2)=\mbox{Trace}(A^*A)=\sum |a_{ij}|^2\quad\Rightarrow\quad a_{ij}=0\quad\forall i,j.$$

Y esto funciona de forma más general para $A$ hermitiana tal que $A^2=0$ .

Answer 5

Doy una respuesta, pero no estoy seguro de que sea un argumento más sencillo:

Por la descomposición de Dunford sabemos que $S$ se puede escribir $$S=D+N$$ donde $D$ es una matriz diagonalizable y $N$ es una matriz nilpotente y tenemos unicidad de descomposición pero como $S=0+S$ entonces $D$ debe ser $0$ Por lo tanto $S=0$ es la única matriz simétrica que verifica la hipótesis.