Tengo curiosidad acerca de esta pregunta, porque en las definiciones nunca he visto esta propiedad. ¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿por qué?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bastante bien explicado en la Wikipedia, para cualquier exponencial de la familia, existe una parametrización de manera que la densidad de la familia is$$f(x|\theta)=\exp\{\theta\cdot T(x)-\Psi(\theta)\}$$wrt a constant measure $\text{d}\mu(x)$, where the components of $T(\cdot)$ are linearly independent. In this representation, the moment generating function of the random variable $T(X)$ is given by$$M(\upsilon)=\exp\{\Psi(\theta+\upsilon)-\Psi(\theta)\}$$and therefore$$\Psi(\theta+\upsilon)-\Psi(\theta)$$ is the cumulant generating function for T. This implies that all order moments of $T(X)$ can be derived from the successive derivative of $\Psi(\theta)$, provided $\theta$ is within the interior of the natural parameter space$$\Theta=\{\theta;\ |A(\theta)|<\infty\}$$
Sin embargo, si uno está interesado en los momentos de $X$ sí, con la densidad$$f(x|\theta)=\exp\{\theta\cdot T(x)-\Psi(\theta)\}$$there is no reason those moments are always well-defined. The generic reason is that the density of an arbitrary one-to-one transform $Y=\Xi(X)$ is then $$g(y|\theta)=\exp\{\theta\cdot (T\circ\Xi^{-1})(y)-\Psi(\theta)\}$$de nuevo la medida $$\text{d}\xi(y) = \left| \frac{\text{d}\Xi{-1}}{\text{d}y}\right|\text{d}\mu(\Xi^{-1}(y)$$ Both $Y$ and $X$ thus share the same sufficient statistic in that $$(T\circ\Xi^{-1})(Y)=T(X)$$ as a random variable. The properties of this exponential family are thus characteristic of and characterised by the sufficient statistic, not $X$ or $$Y.
Como se ejemplifica por jbowman en un comentario más abajo, para la $X\sim\text{Ga}(\alpha,\beta)$ la distribución, el valor intrínseco representación y suficiente estadística es $T(X)=\log X$. Mientras que $X$ ha todos (positivo) momentos lo finito, $Y=\exp\{X\}$ no. Y como se ha señalado por Glen_b, para la $X\sim\text{Pa}(\alpha,\beta)$ distribución [que es, de hecho, un aumento exponencial de la familia cuando la parte inferior enlazado $\beta$ es fijo], los momentos se definen únicamente hasta el $\alpha-1$ orden.
