Una transformación lineal que mapea la esfera unitaria a sí misma.

Question

$A \colon\Bbb R^3\to\Bbb R^3$ es una transformación lineal que mapea la esfera unitaria a sí misma. Entonces $A$ es

a) simétrico;

b) ortogonal;

c) definida positiva;

d) simétrica y definida positiva.

Por la condición dada mi intuición dice $\|Ax\|=\|x\|$ así que $A$ será una transformación ortogonal. puede tener valor propio negativo por lo que no será definida positiva. Su polinomio característico será de grado tres y puede tener una raíz compleja, por lo que en ese caso no será simétrica ya que la matriz simétrica tiene valor propio sólo real. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Una pista: Observe que $\displaystyle \left\|A \cdot \frac{x}{\|x\|} \right\|=1$ para todos $x \in \mathbb{R}^n\backslash \{0\}$ . Para los otros puntos, puedes pensar en rotaciones.