Encontrar el punto más alto de la intersección

Question

<blockquote> <p>Encontrar el punto más alto de la intersección de la esfera $x^2+y^2+z^2=30$ y el % de cono $x^2+2y^2-z^2=0$.</p> </blockquote> <p>¿Debo usar el multiplicador de Lagrange para esto?</p> <p>EDICIÓN: Así que esto es lo que he probado...</p> <p>$z^2=-x^2-y^2+30$ y $z^2=x^2+2y^2$. Entonces $-x^2-y^2+30 = x^2+2y^2$. Esto nos da $3y^2=-2x^2+30$, que luego es: $y^2=-\frac23x^2+10$. Sustituto $y^2$ en la ecuación de la esfera, tenemos:</p> <p>¿$z^2 = -x^2 - (-\frac23x^2+10)+30 = -\frac13x^2+20$, así que el máximo $z$ $\sqrt{20}$...?</p> <p>¿Si es true, a continuación, calcular el resto del punto, tenemos $(0,\sqrt{10},\sqrt{20})$...?</p>

Answer 1

Mediante el uso de multiplicadores de Lagrange, tenemos que resolver sistema $$F'_x=0,$$ $$F'_y=0,$$ $$F'_z=0,$$ where is F(x,y,z,\alpha,\beta)=z+\alpha(x^2+y^2+z^2-30)+\beta(x^2+2y^2-z^2),

con condiciones $$x^2+y^2+z^2-30=0,$$ $%$ $x^2+2y^2-z^2=0.$

Puntos estacionarios son ($\pm \sqrt{15}$, $0$, $\pm \sqrt{15}$) y ($0$, $\pm\sqrt{10}$, $\pm\sqrt{20}$).

Que conseguimos máxima z es $z=\sqrt{20}$ (en el punto ($0$, $\pm\sqrt{10}$, $\sqrt{20}$)).

Answer 2

Como sugiere John Molokach: solución para $z^2$ rinde $$2 x ^ 2 +3y ^ 2 = 30,$$ por lo que es la intersección de ambas curvas en el plano de $x,y$ la elipse $$\begin{cases} x=\sqrt{15}\cos t\ y=\sqrt{10}\sin t \end{casos}$$ sustituyendo estas ecuaciones en el cono rinde $$z = \sqrt {15 +5\sin ^ 2t}$$ que tiene máximo $z_{MAX}=2\sqrt{5}$ con el elemental análisis derivados.