Para el teorema:
Sugerencia: deje que $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}$ sean los vectores en $S$ y supongamos que hay $c_{1}, \ldots, c_{k}$ tal que $v_{1}c_{1} + \cdots + v_{k}c_{k} = 0$ . A continuación, tome el producto interior de ambos lados con cualquier vector del conjunto $v_{j}, 1 \leq j \leq k$ . Concluir algo sobre el coeficiente $c_{j}$ utilizando el hecho de que $v_{j} \neq 0$ para todos los vectores $v_{j}$ en el conjunto.
Para tu siguiente pregunta, conjunto ortogonal implica conjunto linealmente independiente con la condición que todos los vectores del conjunto son distintos de cero - ¡lo necesitamos en la prueba anterior! (Lo trataré en tus preguntas de verdadero falso).
Tienes razón en que la independencia lineal no tiene por qué implicar ortogonalidad. Para ver esto, comprueba si puedes encontrar dos vectores que sean linealmente independientes sobre $\mathbb{R}^{2}$ pero tienen un producto punto distinto de cero. (¡No debería ser muy difícil hacerlo!)
Para tu pregunta de verdadero falso, no es necesario que todo conjunto ortogonal sea linealmente independiente, ya que los conjuntos ortogonales pueden incluir ciertamente el ' $0$ y cualquier conjunto que contenga el ' $0$ El vector "es necesariamente linealmente dependiente".
Sin embargo, todo conjunto ortonormal es linealmente independientes por el teorema anterior, ya que todo conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal formado por vectores distintos de cero.
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Sólo como nota al margen, hay varias preguntas aquí. Sería mejor publicarlas como varias preguntas, aunque estén relacionadas. Pero es sólo mi opinión.