¿Por qué es que $x^4+2x^2+1$ es reducible en $\mathbb{Z}[x]$ pero no tiene ninguna raíz en $\mathbb{Q}$?

Question

$\textbf{ Lemma:}$ Un % polinomio primitivo no constante $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ si y solamente si es irreductible en $f(x)$ $\mathbb{Z}[x]$.

Estoy leyendo un libro en el que es dado que es primitivo en $f(x)=x^4+2x^2+1$ $\mathbb{Z}[x]$ y no tiene no tiene ninguna raíz en $\mathbb{Q}$ pero es reducible sobre $\mathbb{Z}$ $f(x)=(x^2+1)(x^2+1)$.

¿Mi pregunta es se conradict este lema? desde irreductible $\mathbb{Z}$ e irreducible sobre $\mathbb{Q}$ es lo mismo para el polinomio primitivo.

Answer 1

No hay ninguna contradicción aquí. El polinomio $f(x)=x^4+2x^2+1$ es reducible tanto en $\mathbb{Q}[x]$ $\mathbb{Z}[x]$, ya que puede tenerse como $(x^2+1)(x^2+1)$ en cualquier anillo. Todo lo que está sucediendo es que un polinomio puede ser reducible sin tener ninguna raíz.

Answer 2

No es necesario que un polinomio es reducible sobre un foro de campo tiene una raíz en el campo. Significado de un polinomio reducible es que expresamos el polinomio en producto de polinomios no constantes sobre el campo. Y un resultado que un polinomio tiene grado 2 o 3 es reducible iff tiene raíz en campo. En tu ejemplo el grado del polinomio es 4.