Supongamos que $f$ y $g$ son dos polinomios con coeficientes complejos (es decir $f,g \in \mathbb{C}[x]$ ). Sea $m$ sea el orden de $f$ y que $n$ sea el orden de $g$ .
¿Existen algunas condiciones generales en las que
$fg= \alpha x^{n+m}$
para algún valor distinto de cero $\alpha \in \mathbb{C}$
Polinomios sobre $\mathbb{C}$ (de hecho, sobre cualquier campo) son un Dominio de Factorización Único (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain ); puesto que $x$ es un irreducible, la única manera de que eso ocurra es que $f=ax^m$ y $g=bx^n$ con $ab=\alpha$ .
(Si no quiere recurrir al mazo de la factorización única, puede hacerlo explícitamente: busque el término más bajo distinto de cero en $f$ y el menor término distinto de cero en $g$ su producto será el menor término distinto de cero en $fg$ por lo que debe ser de grado $m+n$ . Dado que el grado del menor término distinto de cero de $f$ es como máximo $m$ y el de $g$ es como máximo $n$ , tienes que deben ser exactamente de grado $m$ y $n$ respectivamente, y se obtiene el resultado)
Aquí sólo se necesita la débil afirmación de que los productos de primos factor de forma única - no la afirmación rotunda de que los productos de irreducibles de forma única ( $\Rightarrow$ UFD cuando las factorizaciones son finitas). Pero esta afirmación más débil es cierta en cualquier dominio. De hecho, la conocida prueba de una línea para $\mathbb Z$ generaliza inmediatamente. Que $x$ es primordial aquí es inmediata - ver mi respuesta.
No necesitamos la propiedad fuerte de UFD. Si $\rm D$ es un dominio $\rm D$ entonces $\rm x$ es prime en $\rm D[x]$ (por $\rm D[x]/x \cong D$ un dominio), y los productos de primos factorizan unívocamente en cada dominio (misma demostración sencilla que en $\Bbb Z$ ). En particular, las únicas factorizaciones de la potencia prima $\rm x^i$ son $\rm \,x^j x^k,\ i = j+k\ $ (hasta los asociados, como de costumbre). Esto falla en los no dominios, por ejemplo $\,\rm x = (2x+3)(3x+2) \in \mathbb Z/6[x].$
Cuidado con que sobre los no-dominios ni siquiera existen definiciones estándar de las nociones básicas de divisibilidad, por ejemplo, "asociar" e "irreducible" se bifurcan en algunas nociones no equivalentes. Véase ici para la literatura.
Sí, los intuitivamente evidentes: todos los demás términos en $f$ y $g$ debe desaparecer. Para ver esto, observe que el producto de los términos constantes de $f$ y $g$ es igual al término constante de $fg$ que es cero, por lo que al menos uno de estos polinomios es múltiplo de $x$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $f$ . Entonces $$fg = x\, \left(\frac{f}{x}\right) g,$$
que implica $(f/x) g$ es múltiplo de $x^{n+m-1}$ . Por inducción esto nos reduce al caso $n+m=0$ que es trivial (porque $f$ y $g$ entonces no tienen otros términos). QED.
Sin evaluación: $x$ es primo en $D[x]\iff D$ es un dominio, por lo que en un dominio $\,x\mid fg\iff x\mid f\,$ o $\,x\mid g.\ $ Su argumento repite esencialmente la prueba estándar de la unicidad de la factorización de productos primos para el caso especial de una potencia del primo $x$ (cf. mi respuesta).
@Gone Así es. Espero que no lo consideres problemático :-). (Nota: (i) publicaste tu respuesta más tarde. (ii) he votado la tuya).
El objetivo de mi comentario es ayudar a los lectores a entender cómo el argumento de la evaluación (coef) es un caso especial de unicidad de factorizaciones primos. No tiene nada que ver con las otras cuestiones que mencionas. Es algo que rara vez se menciona en los libros de texto y que a menudo los estudiantes pasan por alto, por lo que merece la pena insistir en ello (lo que posiblemente se consiga debido a las recientes ediciones).
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A menos que f y g sean monomios en sí mismos, no veo de qué otra forma se puede sostener esto.
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Lo siento, lo tendré en cuenta. Estaba algo impaciente por cerrar la pregunta, ya que la respuesta se me ocurrió unos minutos después de publicarla.