"Prohibido" índices del Tensor en múltiples complejos

Question

Estoy teniendo una embarazosa duro tiempo de enderezar cómo trabajar con el "excluido" de los índices que se muestran en los tensores en los complejos colectores. Por ejemplo, el Kahler forma $\omega = \frac{i}{2}g_{i \bar{j}}dz^{i} \wedge d\bar{z}^{\bar{j}}$. ¿Es correcto decir que estos prohibido índices sólo sirven para denotar un índice que es contratado con un $d\bar{z}$ o $\partial/\partial \bar{z}$ en algunos tensor general? En otras palabras, podríamos creo que de forma equivalente de escribir esta Kahler forma como $\omega = \frac{i}{2}g_{i j}dz^{i} \wedge d\bar{z}^{j}$, correcto? Supongo que esta prohibido notación es simplemente conveniente la hora de escribir las cosas en las coordenadas, por lo que podemos leer en el holomorphic y anti-holomorphic componentes.

El problema preciso en el que este se tropezó conmigo, argumentando que el $g_{i \bar{j}}$ proveniente de la anterior Kahler forma es en realidad un Hermitian matriz en coordenadas locales. Claramente, sin barrotes en la notación, podemos decir que una matriz es Hermitian si sus entradas satisfacer $g_{ij}=(g_{ji})^{*}$. Puede alguien tal vez me ayude a la razón a través de cómo los excluidos y los índices son afectados por este complejo de conjugación? Sé el Kahler forma es real, por lo que debe ser igual a su conjugado complejo, pero incluso para un no-real, hay una manera de conjugar los componentes, y la Hermitian condición creo que es algo extra. Me gustaría mucho que aprecian un poco de empuje de aquí!

Answer 1

(En primer lugar, tratar de evitar el uso de $i=\sqrt{-1}$ cuando también utilizas $i$ como un índice. Primer escollo con geometría compleja. :) ) La costumbre es escribir $$\sum g_{i\bar j} dz^i\wedge dz^{\bar j}$$ so that the summation convention is consistent for both unbarred and barred indices. The hermitian condition is then consistent as well: To say that $\a la izquierda[g_{i\bar j}\right]$ is a hermitian matrix is to say that $g_{j\bar i} = \overline{g_{i\bar j}}$; note that $i$ gets barred and $\bar j$ mete tienen llave ni rejas de la derecha.

Ahora, hay un problema más para clasificar (y no quiero escribir una conferencia completa aquí). Es $d\bar z$ siendo alimentados con una holomorphic vector tangente $v$ o un antiholomorphic vector tangente $\bar v$? En el primer caso, podemos interpretar $d\bar z(v)$$\overline{dz(v)}$; en el segundo, podemos interpretar $d\bar z(\bar v)$ como la misma cosa. Así que usted tiene que luchar con la forma en que usted está tratando con el complexified tangente paquete.