Caracterización de ideales máximas en $\mathbb F_p[x]$, $\mathbb Z[x]$

Question

Estoy interesado en la caracterización de la máxima ideales en $\mathbb F_p[x,y]$. Más precisamente, mi problema es:

Encontrar todos los posibles cardinalidades para los campos de la especie $A/I$ donde $A=\mathbb Z[x,y]/(x^2+y^2)$ $I$ es un ideal maximal en $A$ (a sabiendas de que estos cardinalidades son todos finitos).

Es muy fácil de obtener todos los campos de la cardinalidad $p$, $p$ prime. ¿Qué podemos decir acerca de $p^n$? Y, más en general, ¿qué podemos decir acerca de máxima ideales en $\mathbb F_p[x]$? (No podemos usar Hilbert Nullstellensatz desde $\mathbb F_p$ no es algebraicamente cerrado).

Gracias de antemano.

Answer 1

Otro caso es el caso de la $q=2^n$. Cualquier campo finito $\mathbf F_q$ es fácilmente visto para ser isomorfo a un cociente del anillo de $A$ si $q=2^n$.

Si $A/I$ es un campo finito, otros de los que encontró en el ya y los de arriba, a continuación, hay una surjecive anillo de morfismos $f\colon A\rightarrow \mathbf F_q$, donde $q=\#(A/I)$, $q=p^n$ con $p$ una extraña primer y $n>1$. Deje $\bar x$ $\bar y$ ser las imágenes de $x$$y$$\mathbf F_q$. Desde $f$ es surjective, $\mathbf F_q=\mathbf F_p(\bar x,\bar y)$. En particular, $\bar x$ $\bar y$ no puede ser cero. Desde $x^2+y^2=0$$A$, uno ha $\bar x^2+\bar y^2=0$$\mathbf F_q$. Por lo tanto $\bar x$ $\bar y$ son ambos cero. A continuación, $(\bar x/\bar y)^2=-1$$\mathbf F_q$, es decir, $\mathbf F_q$ tiene una raíz cuadrada de $-1$. De ello se desprende que $q\equiv 1\pmod 4$.

Por el contrario, si $q\equiv1\pmod4$, vamos a $i\in\mathbf F_q$ ser una raíz cuadrada de $-1$, y deje $\bar x$ ser un generador de la extensión de campo $\mathbf F_q/\mathbf F_p$. Deje $\bar y=i\bar x$. Deje $f\colon A\rightarrow \mathbf F_q$ ser el morhism definido por $f(x)=\bar x$$f(y)=\bar y$. A continuación, $f$ es surjective. De ello se desprende que $\mathbf F_q$ es isomorfo a un cociente de $A/I$ de el anillo de $A$.