Prueba sin palabras para $\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\frac{1}{2i+1}$

Question

$$\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\frac{1}{2i+1}$$

$$1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4$$

¿Alguien conoce un prueba sin palabras ¿Por esto? No estoy buscando un cualquiera prueba, ya que puedo probarlo yo mismo. Lo que busco es una interpretación física elegante, o cualquier otra cosa que coincida con ese tipo de belleza.

Sólo para aclarar, la prueba que ya sé es

$$\int_0^1\left(1-x^2+x^4-x^6+x^8-\cdots\right)\,\mathrm{d}x = \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$$

Así que me interesa todo lo que no esté obviamente relacionado con esto.

Answer 1

Creo que puede ser posible mostrar esta fórmula utilizando la expansión en serie de Fourier de la siguiente función $f$ periódico con periodo $2\pi$ tal que $f(x)=\frac{x}{2} $ para $x[0;2]$

Answer 2

$$|x|<1\implies \frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots\implies$$

$$\arctan x=\int\frac{dx}{1+x^2}=x-\frac13x^3+\frac15x^5-\frac17x^7+\ldots\;,\;\;\forall\,x\in(-1,1\color{red}]\;(<-- !!)\implies$$

$$\frac\pi4=\arctan 1=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots$$

Answer 3

Expande arctan(x) en series de taylor: $$ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots $$ ¡toma x=1 y obtendrás lo que quieres!