Estoy tratando de probar:
Lee, Suave Colectores, El Ejercicio 2.9. Demostrar que una apertura de la tapa $\{U_\alpha\}$ $X$ es localmente finito si y sólo si cada una de las $U\alpha$ intersecta $U_\beta$ por sólo un número finito de $\beta$.
Sin embargo, en mi camino he encontrado lo que creo que es el contraejemplo: Deje $X=\mathbb{R}$$\{U_\alpha\}=\{(k,k+2):k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\mathbb{R}\}$. Entonces claramente $\{U_\alpha\}$ es localmente finito, ya que cada punto de $p=k+\delta \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}, \delta \in [0,1)$ tiene una vecindad $(p-1,p+1)$ que se cruza con un número finito de (3) juegos de $\{U_\alpha\}$, en particular,$(k-1,k+1),(k,k+2),\mathbb{R}$. Sin embargo, tome $U_\alpha=\mathbb{R}$, luego se cruza con $U_\beta=(k,k+2)$ por cada $k \in \mathbb{Z}$, por lo tanto, para una infinidad de $\beta$ lo cual es una contradicción.
Es la cubierta por definición mínima? I. e. ningún subconjunto de la cubierta de $X$ es la cubierta de $X$? Que tenemos que remover $\mathbb{R}$$\{U_\alpha\}$?
