¿Qué $n$ y $m$ es este número un cuadrado perfecto?

Question

Encuentra todos los enteros positivos $n$ y $m$ tal que $$(2mn+1)^2-4mn(m+n)+n^2+m^2+(n-1)^2+(m-1)^2-3$ $ es un cuadrado perfecto.

Por supuesto $n=m=1$ es una solución trivial y si pones $n=m+1$ (asumir WLOG que $n \geq m$), la expresión anterior es igual a $4n^4$ que es un cuadrado perfecto - pero no sé si esta es la única solución. Realmente le agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario) Creo que la pregunta puede hacerse más clara con un cambio. $2(2mn)(m+n)$ Huele a una cuadrática: $$((m+n)-(2mn+1))^2=(2mn+1)^2-2(2mn+1)(m+n)+m^2+n^2+2mn$ % $ $$=(2mn+1)^2-4mn(m+n)-2(m+n)+m^2+n^2+2mn$$ reorganización, $$=(2mn+1)^2-4mn(m+n)+m^2+n^2+2mn-2(m+n)$ $ $$=[(2mn+1)^2-4mn(m+n)+m^2+n^2]+2mn-2(m+n)$ $ y sustituyendo, $$(2mn+1)^2-4mn(m+n)+m^2+n^2+(n-1)^2+(m-1)^2-3$ $ $$=((m+n)-(2mn+1))^2-2mn+2(m+n)+(n-1)^2+(m-1)^2-3$ $ $$=((m+n)-(2mn+1))^2-2mn+2m+2n+n^2-2n+m^2-2m-1$ $ $$=((m+n)-(2mn+1))^2-2mn+n^2+m^2-1$ $ $$=(m+n-2mn-1)^2+(n-m)^2-1$ $

Está claro ahora por qué $n=m+1$ trabajado. Es igualmente claro que $m+n-2mn-1=1 \Rightarrow n=\frac{m-2}{2m-1}$ es una solución (aunque no entero positivo soluciones existen).

Answer 2

Dado el OP de la forma,

$$(2mn+1)^2-4mn(m+n)+n^2+m^2+(n-1)^2+(m-1)^2-3 = w^2\tag{1}$$

ccorn y Alyosha mostraron que es equivalente a la más estética de las formas,

$$\tfrac{1}{4}\big((2m-1)^2+1\big)\big((2n-1)^2+1\big)-1 =w^2$$

$$(m+n-2mn-1)^2+(n-m)^2-1 =w^2$$

respectivamente. Hay infinitamente muchos enteros positivos soluciones de (1) otros $n=m+1$ como podemos hacer uso de una ecuación de Pell $x^2-dy^2=1$ a resolverlo. De hecho, podemos utilizar infinidad de $d$. Para cualquier entero positivo $m>1$, la solución es entonces,

$$\begin{aligned} &n =(2m-3)x^2+4(m-1)^2xy-(m-2)\\ &w = 4(m-1)^2x^2+(2m-3)\big((2m-1)^2+1\big)xy-2(m-1)^2 \end{aligned}$$

donde $x,y$ satisfacer la ecuación de Pell,

$$x^2-\big((2m-1)^2+1\big)y^2=1$$

Para el caso más simple al $m=1$, tenemos la alternativa y de la forma más simple,

$n = (x+1)/2,\;\; w=y,\;\; \text{where}\;\;x^2-2y^2=1.\tag{2}$

(Nota: Puesto que el $x$ de (2) es impar, entonces $n$ es un número entero.)