Teorema de la estructura (PID) de la forma normal de Smith

Question

¿Cómo se deduce exactamente el teorema de la estructura de la forma normal de Smith? ( Declaración de Wikipedia )

Se dice que una presentación (mapa de relaciones a generadores) se pone en forma Normal de Smith. Ahora bien, veo que la forma normal de Smith se aplica a tal presentación, pero no veo cómo se deduce el teorema de la estructura. Debo decir que el término presentación es nuevo para mí, leí a través de Presentación gratuita , Presentación en grupo y busqué los términos relatores y generadores, que creo haber entendido.

Forma normal de Smith

Una transformación lineal $f$ entre módulos libres $M$ y $N$ sobre un PID $R$ puede representarse mediante $m \times n$ siguiente matriz donde $a_i | a_{i+1} \forall 1 \leq i \lt r$ .

$$ \begin{bmatrix} a_1 & 0 &0 &0 &... \\ 0 &a_2 &0 &0 &... \\ 0 &0 &a_3 &0 &... \\ ... \end{bmatrix} $$

Teorema de estructura para módulos sobre PID

Para cada módulo finitamente generado $M$ sobre un PID $R$ existen ideales únicos $(d_1) \supset (d_2) \supset (d_3) ... (d_n)$ con $M \cong R/(d_1) \oplus R/(d_2) \oplus ... R/(d_n)$

Answer 1

Sea $m_1, \ldots, m_n$ sean generadores de $M$ y definir un $R$ -homomorfismo de módulo $f: R^n \rightarrow M$ por $(r_1, \ldots, r_n) \mapsto r_1m_1 + \ldots + r_nm_n$ . Desde el $m_i$ generar $M$ , $f$ es suryectiva. Por lo tanto $M \cong R^n/\ker f$ .

Recordemos que un $R$ -se llama noetheriano si cada submódulo está finitamente generado. Un anillo $R$ se llama noetheriano si es noetheriano como módulo sobre sí mismo, lo que equivale a que todos los ideales son finitamente generados.

En nuestro caso, puesto que $R$ es un PID es automáticamente noetheriano (cada ideal está generado por un único elemento, por lo que ciertamente está finitamente generado). Por lo tanto, finitamente generado $R$ -son noetherianos. En particular, $R^n$ es noetheriano, por lo que el submódulo $\ker f$ está finitamente generada.

Generadores Pick $k_1, \ldots, k_m$ para $\ker f$ y definir un homomorfismo $g: R^m \rightarrow R^n$ por $(r_1, \ldots, r_m) \mapsto r_1k_2 + \ldots + r_mk_m$ . Entonces $M \cong R^n / \ker f \cong R^n / \mathrm{im} \ g$ . Escribir $g$ en $n \times m$ Forma normal de Smith con entradas diagonales $a_1, \ldots, a_n$ como usted sugiere (donde $a_{m+1}, \ldots, a_n$ se definen como $0$ si $m<n$ ), vemos que $M \cong R/(a_1) \oplus \ldots \oplus R/(a_n)$ . Desde $a_1 | \ldots | a_n$ tenemos $(a_1) \supset \ldots \supset (a_n)$ . Esto demuestra la existencia.

Para la unicidad, la forma más limpia es con productos tensoriales. Dado que $R$ es un PID podemos tomar factorizaciones primos del $a_i$ . Para cada primo $p \in R$ el ideal $(p)$ es máxima, por lo que $K :=R/(p)$ es un campo, y el número de $a_j$ divisible por $p$ es simplemente la dimensión de $K \otimes_R M$ como $K$ -espacio vectorial. En términos más generales, el número de $a_j$ divisible por $p^d$ es la dimensión de $K \otimes_R (p^{d-1}M)$ . Las dimensiones del $K \otimes_R (p^{d-1}M)$ son intrínsecas a $M$ y utilizando el hecho de que $a_1 | \ldots | a_m$ podemos reconstruir el $a_j$ de ellos. (Esto no detectará ningún $a_i$ igual a $1$ pero podemos eliminarlos ya que $R/(1)=0$ .)