Encontrar los antiderivatives

Question

Encontrar los antiderivatives:

$\int!\left(2x^2 +3\right)^{1/3} x\,dx $

He pegué en mi libro y la manera de que hacerlo que me sale

$3/4\left(2x^2 + 3\right)^{4/3} x^2 +c $

Pero mi libro me dice que debe ser $3/16(2x^2 + 3)^{4/3}$

¿Alguien sabe cómo llegan a eso?

Answer 1

Hacer la sustitución $u=x^2+3$. Entonces $du=4x\,dx$ % que $x\,dx=\frac{1}{4}\,du$. Así $$\int (2x^2+3)^{1/3} x\,dx=\int \frac{1}{4}u^{1/3}\,du.$ $

Comentario: El derivado de $2x^2+3$ es "casi" parte de su expresión. sin duda, tenemos un $x$ $4x$, pero no es problema, puesto que $x=\frac{1}{4}(4x)$. En este tipo de situaciones, la sustitución es a menudo útil. Se reunirá a menudo, las variantes como % o $\int xe^{x^2}\,dx$ $\int (1+\sin x)^8\cos x\,dx$.

Answer 2

Usar la sustitución $u=2x^2+3, du=4x$. Lamentablemente no es verdad que el $\int f(x) g(x)dx=\int f(x)dx \int g(x)dx$; no puede integrar la parte de $x$ por separado.