El lugar de los puntos desde los que las tangentes a una parábola forman un ángulo constante es una hipérbola con el mismo foco que la parábola

Question

Es bien sabido que cuando dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, se cruzan en la directriz. En otras palabras, el punto de intersección de las dos tangentes hace una línea recta, en este caso, la directriz,

Sin embargo, cuando las dos tangentes a una parábola se cruzan en otro ángulo, parece que el punto de intersección de las dos tangentes siempre forma una hipérbola, independientemente del ángulo. (El problema original que encontré preguntaba por la traza del punto de intersección cuando el ángulo era de 45 grados)

Y sorprendentemente, la hipérbola tiene el mismo enfoque con la parábola.

Esto se puede demostrar mediante álgebra de fuerza bruta, con el mismo método utilizado para demostrar la propiedad de la directriz.

La pregunta que me gustaría hacer es : ¿Existe una prueba geométrica, o quizás intuitiva, de por qué la traza del punto de intersección forma una hipérbola, y por qué el foco de la hipérbola y de la parábola son el mismo?

No puede ser una coincidencia que estas dos secciones cónicas tengan el mismo foco, y supuse que habría una simple observación geométrica que se puede hacer para demostrar esta propiedad sin álgebra, como muchas otras propiedades de las secciones cónicas, pero parece que no puedo encontrarla. Mis profesores de matemáticas también parecen estar perplejos con este problema.

¿Puede alguien ayudarme? Tampoco he podido encontrar ninguna prueba respecto a esta propiedad en google.

(Perdón por mi mal inglés; es la primera vez que escribo temas matemáticos en inglés, por favor corrígeme si algo está mal)

Answer 1

TAL VEZ ESTO AYUDE

Llevo un tiempo pensando en tu problema. No diría que puedo resolverlo. Sin embargo, tengo una idea que me gustaría compartir con usted.

Ciertamente recuerda las esferas de Dandelin que puede tener algo que ver con su conjetura. La siguiente figura muestra dos conos (uno negro y otro gris). Estos conos comparten el eje vertical y una esfera de Dandelin. Tangente a esta esfera hay un plano azul cuyo borde se puede ver en la figura:

El plano azul y el cono negro se cruzan en una parábola. Además, el plano azul se cruza con el otro cono en una hipérbola. El foco de la parábola y uno de los focos de la hipérbola son comunes.

Mi conjetura es que así se imagina su pareja de parábola e hipérbola con un foco común.

Entonces, no sé cómo proceder.

Answer 2

Aquí una prueba de una generalización de su afirmación en términos de geometría proyectiva sintética.

Dejemos que $\Gamma$ sea una cónica en un plano $\alpha$ y que $\Pi$ sea una proyectividad de $\Gamma$ sobre sí mismo con el eje $p$ y el centro $P$ no contenida en $p$ . Entonces el lugar de los puntos de las intersecciones de las $\Pi$ -correspondientes tangentes de $\Gamma$ es una cónica $\Psi$ . Además $\Gamma$ y $\Psi$ induce la misma involución en $p$ .

Identificamos una cónica con su polaridad asociada en el plano. Recordemos que una cónica $\Gamma$ induce en una línea $p$ no tangente a ella, una involución que mapea cada punto de p en la intersección de su polar con $p$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $p$ no es tangente a $\Gamma$ porque no contiene su polo. Sea $D,E$ sean las intersecciones (reales o inmaginarias) de $p$ con $\Gamma$ . La proyectividad $\Pi$ está determinada por la imagen de una tangente $u$ a $\Gamma$ . Así pues, dejemos que $v=\Pi(u)$ y $A=u\cap v$ . Si $U=\Gamma(u)$ y $V=\Gamma(v)$ son los respectivos puntos de contacto, entonces $\Pi(U)=V$ . Además, $D$ y $E$ son punto fijo de $\Pi$ .

Dejemos que $\Delta$ sea la (única) homografía del plano que tiene $D,E,P$ como puntos fijos y el mapeo $U$ en $A$ . Afirmamos que $\Delta$ mapas $\Gamma$ en una cónica $\Psi$ que es el lugar de los puntos de la forma $t\cap\Pi(t)$ para $t$ tangente a $\Gamma$ .

Primero demostramos que para cada punto $T$ de $\Gamma$ tenemos $\Delta(T)\subset t$ porque $t=\Gamma(T)$ es la línea tangente a $\Gamma$ en $T$ . Desde $\Delta$ fija $D$ induce una proyectividad del lápiz de las líneas en $D$ en sí mismo. En particular, para cada línea $r$ que contiene $D$ , $\Delta(r)$ es una línea que contiene $D$ y $\Delta$ induce una perspectiva de $r$ en $\Delta(r)$ cuyo centro $C$ pertenece a la línea $e=PE$ que es tangente a $\Gamma$ y fijado por $\Delta$ . De la misma manera, $\Delta$ induce una perspectiva de $PU$ a $PA$ con centro $J=p\cap u$ . En consecuencia, $\Delta(r\cap PU)=(r\cap PU)J\cap PA$ y $C=((r\cap PU)J\cap PA)(r\cap PU)\cap e=(r\cap PU)J\cap e$ . Si $R=\Gamma(r)$ entonces $CR$ es tangente a $\Gamma$ por Teorema de Steiner . Esto demuestra la afirmación.

Por un argumento similar, también $\Delta(T)\subset\Pi(t)$ para cada punto $T$ de $\Gamma$ . En consecuencia, obtenemos $\Delta(T)=t\cap\Pi(t)$ para cada punto $T$ de $\Gamma$ donde $t$ denota la tangente a $\Gamma$ en $T$ .

Queda por demostrar que $\Gamma$ y $\Psi$ induce la misma involución en $p$ . Dejemos que $X$ sea un punto de $p$ y $X'$ sea su conjugado respecto a $\Gamma$ . Entonces $DEXX'$ es un grupo armónico, por lo que $DE\Delta(X)\Delta(X')$ también es un grupo armónico. Pero $\Delta(X)$ y $\Delta(X')$ son puntos de $p$ conjugado respecto a $\Psi$ y con esto concluye la prueba.

Por último, deducimos su afirmación de esto. Sea $\Gamma$ sea una parábola, $p$ sea su directriz y $P$ enfoque de la misma. Una proyectividad no voluntaria $\Pi$ de $\Gamma$ en sí mismo con centro $P$ y el eje $p$ induce sobre la línea en el infinito una proyectividad no involutiva que conmuta con la involución absoluta, es decir, una congruencia directa; en consecuencia, $\Pi$ rotar cada línea tangente con el mismo ángulo. Entonces $\Pi$ mapas $\Gamma$ en una cónica $\Psi$ que induce en $p$ (y $P$ ) la misma involución que $\Gamma$ , que es la involución del ángulo recto. Esto demuestra que $\Psi$ tiene enfoque $P$ y directix $p$ también. Para demostrar que $\Psi$ es una hipérbola, es suficiente para demostrar que la línea en el infinito $w$ es secante $\Psi$ . Pero esto se deduce de inmediato al observar que el punto en el infinito de la línea $\Pi(w)$ pertenece a $\Psi$ y no es un punto de contacto.

Answer 3

La parábola y la hipérbola no sólo tienen el mismo foco, sino que también tienen la misma directriz.

Recordemos que una cónica es el conjunto de puntos para los que la distancia al foco, dividida por la distancia a la directriz, es igual a la excentricidad $e$ .

Ahora digamos que un punto $C$ se encuentra fuera de una parábola con foco $F$ por lo que las dos tangentes de $C$ a la parábola se encuentran en un ángulo de $\theta$ .

Como se muestra en el diagrama, dejemos que $A$ y $B$ son los puntos de tangencia, y sea $P_A$ , $P_B$ y $P_C$ sean las proyecciones de estos puntos sobre la directriz. Mirando el punto de tangencia $A$ vemos que al estar sobre la parábola, es equidistante del foco $F$ y de la directriz, por lo que el triángulo $FAP_A$ es isósceles.

Además, este triángulo se corta por la mitad por la línea de tangencia, $AC$ porque biseca el ángulo $FAP_A$ . (Se trata de la misma propiedad de ángulo que la propiedad "antena parabólica": La línea $FA$ reflejado en la tangente en $A$ se refleja directamente hacia arriba). Así que $AC$ es la bisectriz perpendicular de $FP_A$ . Así que $CF=CP_A$ .

De la misma manera, $BC$ es la bisectriz perpendicular de $FP_B$ y $CF=CP_B$ .

Desde $CP_A=CF=CP_B$ podemos dibujar un círculo centrado en $C$ , pasando por $F$ , $P_A$ y $P_B$ .

Este círculo nos permite ver ese ángulo $\angle P_A F P_B = \frac{1}{2} \angle P_A C P_B = \angle P_C C P_B$ .

Y el ángulo entre líneas $FP_A$ y $FP_B$ debe ser igual al ángulo entre sus bisectrices perpendiculares, que es $\theta$ (o $\varphi=\pi-\theta$ dependiendo del ángulo que desee). En nuestro caso, tenemos $\angle P_A F P_B = \varphi$ Así que $\angle P_C C P_B = \varphi$ .

Así que $\cos(\varphi) = \frac{CP_C}{CP_B} = \frac{CP_C}{CF}$ .

Así, $C$ se encuentra en la hipérbola que tiene el mismo foco y directriz que la parábola, pero que tiene excentricidad $\frac{1}{\cos(\varphi)} = \frac{-1}{\cos(\theta)}$ .

Comentarios : Si consideramos todos los puntos $C$ para la cual la parábola abarca un ángulo determinado $\theta$ obtenemos una rama de una hipérbola. La parábola y la directriz son casos límite de dicha rama de la hipérbola. Si $\theta<\frac{\pi}{2}$ la "excentricidad negativa" sólo significa que la rama de la hipérbola se encuentra debajo de el director: Podemos pensar en la distancia firmada a la directriz que es negativa allí.