Tengo que demostrar que la tangente de Grassmann múltiple $G_n(\mathbb{R}^{n+h})$ es isomorfo a $\operatorname{Hom}(\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k}),\gamma^\perp)$, $\gamma^{\perp}$ es el complemento tanto del paquete tautológica $\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$ en el paquete trivial $\epsilon^{n+k} $.
Respuesta
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ray247
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Este es uno de Milnor-Stasheff problemas. Es la primera mitad del problema $5-B$. Mi prueba aquí es más expositivo que riguroso justificación. Para algebraica de pruebas rigurosas, ver
Canónicas de identificación del espacio de la tangente de la Grassmannian
Tenemos que demostrar dos cosas, una es la fibra de más de $V\in Gr(n+k,n)$ es canónicamente isomorfo a $Hom(V,V^{\perp})$. La otra es que hay un paquete de isomorfismo $$ T(Gr(n+k,n))\cong Hom(\gamma^{n}(\mathbb{R}^{n+k}),\gamma^{\asesino}) $$
Dejamos $L_{V}\in T_{V}$ ser un vector tangente en el punto de base $V$. La identificación de $Gr(n+k,n)$ $nk$ dimensiones del colector nos dan un mapa de la $T_{V}\rightarrow \mathbb{R}^{nk}$. A continuación, $L_{V}$ es el vector a lo largo de la cual nos movemos de $V$ a cerca de un $n$-avión $U$$Gr(n+k,n)$. Para solucionar este vector necesitamos un elemento $f$$Hom(V,V^{\perp})$, de modo que $L_{V}$ corresponde a la $n$-plano atravesado por $\langle e_{i}+fe_{i},e_{i+1}+fe_{i+1.}\cdots\rangle$. Por lo tanto, el conjunto de todos los vectores corresponde a $Hom(V,V^{\perp})$ e es isomorfo a $\mathbb{R}^{nk}$.
Para mostrar la otra dirección, tenemos que demostrar que esta correspondencia es bijective y su inversa es también continua. Aquí la objetividad es claro, y creo que la continuidad y de la inversa de la continuidad es también claro si te pones a pensar geométricamente.
