Como se ha mencionado en la respuesta anterior, el teorema del índice de Atiyah-Singer es una excelente respuesta a tu pregunta. Me gustaría convencerle de que, en cierto sentido, es probablemente la única respuesta a su pregunta. Afortunadamente, ese teorema admite tantas aplicaciones, generalizaciones y elaboraciones que casi se convierte en un área de las matemáticas en sí misma (sobre todo cuando se le añaden las herramientas de la teoría del álgebra C*).
Mi primera observación es que la teoría K es una teoría inherentemente global su poder reside en el hecho de que se construye a partir de los detalles de la geometría local, pero es insensible a ellos. Por lo que entiendo de la teoría de las EDP, muchas de las cuestiones interesantes viven en bolas abiertas del espacio euclidiano, sobre las que la topología algebraica en general tiene poco que aportar. Incluso cuando se consideran los problemas de valor límite, en los que la geometría se vuelve un poco más interesante, los retos suelen ser locales en el límite (es decir, la preocupación es la suavidad, no la estructura global interesante).
Una vez que hemos aceptado que buscamos una respuesta global a su pregunta, es natural preguntarse: ¿hay algún sentido en el que las EDP se organicen en una teoría (co)homológica completa? Al fin y al cabo, ésta es la forma en que la topología suele interactuar con otras partes de las matemáticas: se empieza con objetos cuya estructura se quiere globalizar (por ejemplo, bucles incrustados, formas diferenciales, haces vectoriales...) y se pretende construir invariantes algebraicos a partir de esos objetos. En el caso de las EDP la respuesta es la K-homología, una teoría de homología generalizada para la categoría de los colectores con la propiedad de que todo operador elíptico lineal de primer orden $D$ en un colector $M$ da lugar a una clase $[D]$ en $K_*(M)$ . La K-homología, como su nombre indica, es la teoría de la homología que es naturalmente dual a la K-teoría, considerada como una teoría de cohomología (generalizada) en la categoría de las variedades.
Así que la pregunta es: ¿qué podemos hacer con la K-homología? La respuesta es que se pueden hacer muchas cosas, pero como ocurre con muchas construcciones en topología algebraica, muchos de los resultados más interesantes implican emparejamientos entre homología y cohomología. El emparejamiento más fundamental entre la K-homología y la K-teoría es el llamado emparejamiento de índices, que toma un operador elíptico y un haz vectorial y escupe el índice de Fredholm del operador "retorcido" por el haz. El teorema del índice de Atiyah-Singer es en realidad un teorema sobre las propiedades topológicas de este emparejamiento y, por consiguiente, desempeña un papel fundamental en las aplicaciones de la K-homología.
