Morfismos en la categoría con productos

Question

Estoy teniendo un rato duro demostrando que $$(\psi\phi)\times(\psi\phi)=(\psi\times\psi)(\phi\times\phi),$ $ donde $\phi:G\to H$ y $\psi:H\to K$ en alguna categoría con productos. He visto un diagrama de este (véase abajo) y parece sencillo. Pero no puedo manejar este cálculo parece. ¿Cómo se hace?

Answer 1

El resultado es mucho más general.

Creo que este ProofWiki prueba (que casualmente siempre a PW yo) va a proporcionar lo que necesita (usted puede seguir algunos enlaces para ver las definiciones).

Normalmente, me gustaría incluir el argumento, pero no hay ningún apoyo para la elaboración de los diagramas de aquí, que hace que todo sea mucho menos perspicaz.

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Como por solicitud, un intento de aclarar la conmutación de la parte superior "triángulo" en el OPs diagrama.

Por definición, los morfismos $(\psi\phi)\times(\psi\phi)$ es el único (en virtud de la definición de la categoría de producto) de morfismos $f: G \times G \to K \times K$ tal forma que:

$$\pi^1_K f = (\psi\phi)\pi^1_G\qquad\text{and}\qquad\pi^2_K f = (\psi\phi)\pi^2_G$$

donde $\pi^i_K: K \times K \to K$ y $\pi^i_G: G \times G \to G$, $i=1,2$ son la primera y la segunda proyección de morfismos de los productos que se significan por $m_G$ $m_K$ en su diagrama, bajando el$1$$2$, ya que son "idénticos").

La conmutación de las dos medias de cuadrados implica que el perímetro del rectángulo resultante desplazamientos así, es decir,$m_K\left((\psi\times\psi)(\phi\times\phi)\right) = (\psi\phi)m_G$.

Es decir, $(\psi\times\psi)(\phi\times\phi)$ es una de morfismos de ajuste a la definición de $(\psi\phi)\times(\psi\phi)$. Desde allí fue sólo una de estas morfismos, que debe ser igual, y la parte superior "triángulo" desplazamientos.

Tenga en cuenta que esta es en esencia la misma prueba como se indica en la ProofWiki página.

Answer 2

A veces es mucho más fácil sólo para calcular las cosas en lugar de dibujar diagramas de gran tamaño(*). Recordemos que $\phi \times \psi$ está definido por $p_1 \circ (\phi \times \psi) = \phi \circ p_1$$p_2 \circ (\phi \times \psi)=\psi \circ p_2$.

Deje $\phi_i : G_i \to H_i$ $\psi : H_i \to K_i$ homomorphisms de grupos para $i=1,2$. Pretendemos que $(\psi_1 \times \psi_2) \circ (\phi_1 \times \phi_2) = (\psi_1 \circ \phi_1) \times (\psi_2 \circ \phi_2)$ como morfismos $G_1 \times G_2 \to K_1 \times K_2$.

Prueba: basta para comprobar esto después de componer con las dos proyecciones.

$p_1 \circ (\psi_1 \times \psi_2) \circ (\phi_1 \times \phi_2) =\psi_1 \circ p_1 \circ (\phi_1 \times \phi_2) =\psi_1 \circ \phi_1 \circ p_1 = p_1 \circ ((\psi_1 \circ \phi_1) \times (\psi_2 \circ \phi_2))$

Al igual para $p_2$, QED.

Más generalmente, los límites son functorial en el siguiente sentido: Si $\{G_i\},\{H_i\},\{K_i\}$ son diagramas en una categoría, cuyos límites existen, y $\phi : \{G_i\} \to \{H_i\}$, $\psi : \{H_i\} \to \{K_i\}$ son morfismos de diagramas, a continuación, $\lim_i (\psi_i \circ \phi_i) = \lim_i \psi_i \circ \lim_i \phi_i$ como morfismos $\lim_i G_i \to \lim_i K_i$. La misma prueba como por encima de las obras.

(*) Ya he encontrado con varios artículos en la categoría teoría, tales como los primeros, por Anders Kock contienen largas (y no trivial, no es algo que el anterior) cálculos con 10 líneas, que podría llenar dos páginas de diagramas de lugar.