Conjuntos consecutivos de números consecutivos que se suman al mismo total

Question

Estoy buscando ejemplos de números que puede ser escrito como la suma de números enteros de $j$ $k$e de$k+1$$l$. Por ejemplo, $15$ que puede ser escrito como $4+5+6$ o $7+8$. O $27 = 2+3+4+5+6+7 = 8+9+10$. He sido capaz de encontrar un par de números que tienen dos maneras de satisfacer las ecuaciones anteriores. Por ejemplo,

$$\begin{aligned}105 &= 1+2+\dots +14 = 15+16+\dots+20\\ &= 12+13+\dots+18 = 19+20+\dots+23 \end{aligned}$$

Sin embargo, no he sido capaz de encontrar todos los números que pueden escribirse como la suma de tres formas de sumas consecutivas. Es decir, no he sido capaz de encontrar un $X$ de manera tal que,

$$\begin{aligned}X &= (a+1)+(a+2)+\dots +b = (b+1)+(b+2) +\dots +c\\ &= (d+1)+(d+2)+\dots +e = (e+1)+(e+2) +\dots +f\\ &= (g+1)+(g+2)+\dots +h = (h+1)+(h+2) +\dots +i\\ \end{aligned}$$

¿Cualquier número $X$ existen? Si es así puedes dar un ejemplo? Si no existe tal número puede proporcionar una prueba?

Gracias

Answer 1

Tras la respuesta de chenyuandong, usted necesita encontrar varios $x,y$ con el mismo valor de $xy(x^2-y^2)$. Una búsqueda con Maple (sé, aburrido) da $$x=77,\ y=38\ ;\quad x=78,\ y=55\ ;\quad x=138,\ y=5$ $ que $$ \eqalign {684 + \cdots + = +3686 3687 + \cdots +5168 & = 6561555\cr 2761 + \cdots + = +4554 4555 + \cdots +5819 & = 6561555\cr 8820 + \cdots + = +9534 9535 + \cdots +10199 y = 6561555. \cr}$$ hay también una solución con suma $531485955$ y $y<x adelante="" detalles.="" los="" m="" no="" pero="" publicaremos="" si="" tengo="" tiempo=""></x>

Answer 2

Supongamos,

$$X=(a+1)+(a+2)+\dots+b=(b+1)+(b+2)+\dots+c$$

lo que implica,

$$\Leftrightarrow \frac{b(b+1)}{2}-\frac{a(a+1)}{2}=\frac{c(c+1)}{2}-\frac{b(b+1)}{2}$$

$$2b(b+1)=a(a+1)+c(c+1)$$

o el especial de la terna Pitagórica,

$$(2a-2c)^2+(2a+2c+2)^2=(4b+2)^2$$

donde $a,b,c\in\mathbb Z$. Necesitamos encontrar entero de soluciones del sistema,

$$(2c-2a)=s^2-t^2,\quad (2a+2c+2)=2st,\quad (4b+2)=s^2+t^2$$

Así,

$$a=\frac{|s^2-t^2-2st|-2}{4},\quad b=\frac{s^2+t^2-2}{4},\quad c=\frac{2st+(s^2-t^2)-2}{4}$$

y deje $s=(2m+1),t=(2n-1)$ donde $m\geq n$. Desde entonces,

$$X=\bigg(c+\frac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(b+\frac{1}{2}\bigg)^2=\bigg(\frac{2st+(s^2-t^2)}{4}\bigg)^2-\bigg(\frac{s^2+t^2}{4}\bigg)^2\\ =\frac{st(t+s)(s-t)}{4}=(2m+1)(2n-1)(m-n+1)mn$$

Si la ecuación de abajo tiene 3 o más entero de soluciones, a continuación, el $z$ es exactamente lo que usted desea:

$$z=(2m+1)(2n-1)(m-n+1)mn$$

donde $m\geq n$. Alternativamente,

$$\begin{aligned} a &= \tfrac{1}{2}\Big(-1+\sqrt{(x^2-2xy-y^2)^2}\Big)\\ b &= \tfrac{1}{2}\big(-1+x^2+y^2\big)\\ c &= \tfrac{1}{2}\big(-1+x^2+2xy-y^2\big) \end{aligned}$$

donde $x>y$ y el signo elegido para $a$ es positivo. A continuación,

$$X = \frac{b(b+1)}{2}-\frac{a(a+1)}{2}=\frac{c(c+1)}{2}-\frac{b(b+1)}{2} =\tfrac{1}{2}xy(x^2-y^2)$$

así que basta encontrar tres pares de $x,y$ con el mismo $X$.