¿Qué es una motivación para este teorema y lo que es un ejemplo de que este teorema se aplica?

Question

Si uno no sabe que es una motivación, es difícil memorizar un teorema. Así que yo también.

Rudin RCA p.30

Deje $(X,\Sigma,\mu)$ ser una medida del espacio que $\mu(X)<\infty$$f\in L^1(\mu)$.

Deje $S$ ser un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}$

Si [$\forall E\in\Sigma, \mu(E)>0 \Rightarrow \frac{1}{\mu(E)}\int_E f d\mu \in S$], a continuación, $f(x)\in S$ en casi todas partes.

Tal vez ya se merece ser marcado como un teorema en el texto, Rudin siempre.

Un problema es que él nunca da una motivación.

Yo no conozco a ninguna motivación de este teorema (que es similar al valor medio el teorema de mí). Y en la hipótesis, ¿por qué $S$ tiene que ser cerrado? El teorema aún mantiene incluso cuando se $S$$F_\sigma$. Y lo que es un ejemplo de este teorema se aplica?

Answer 1

Rudin más tarde lo utiliza para demostrar el Teorema del radón-Nikodym (Teorema 6.10 en pp. 121-123), así como un par de otros resultados radón-Nikodym (teoremas 6.12 y 6.16).