¿La serie $\sum \frac{x^n}{1+x^n}$ convergen uniformemente en $[0,1)$?

Question

Considere la siguiente serie de $x \in [0,1)$: $$ \sum \frac{x^n}{1+x^n} $$ Pensé que converge, mediante la prueba de razón de: $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}} \cdot \frac{1+x^{n}}{x^n} = \frac{x+x^{n+1}}{1+x^{n+1}} < \frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n+1}} = 1. $$ con $a_n = \frac{x^n}{1+x^n}$. Sin embargo, me gustaría saber si la convergencia es uniforme en este intervalo. Yo sé que para $a<1$ es uniforme en el intervalo de $[0,a]$, ya que el $g_n(x) = \frac{x^n}{1+x^n}$ es creciente en el intervalo, por lo que tenemos para cada $n$: $$ |g_n(x)| \leq \frac{a^n}{1+a^n} $$ y $\sum \frac{a^n}{1+a^n}$ converge, como se acaba de mostrar, por lo que la convergencia de $\sum g_k(x)$ es uniforme por la M de Weierstrass de la prueba.

Sin embargo, es uniforme en $[0,1)$?

Answer 1

No, no es uniforme.

Conjunto de $Sn(x)=\sum{k=1}^{n}\frac{x^k}{1+x^k}$.

Entonces, para $n>m$, $$\sup_{x\in[0,1)}|S_n(x)-Sm(x)|\geq\sum{k=m+1}^{n}\frac{1^k}{1+1^k}=\frac{n-m}{2}$ $

Por lo tanto $$\lim{n\to\infty}\sup{x\in[0,1)}|S_n(x)-S_m(x)|$$ is not finite, and so $ $ S_n no es uniformemente Cauchy, es decir la serie no converge uniformemente.

Answer 2

La convergencia no es uniforme. $x_n = \sqrt[n+1]{1- \frac1n}$ Tenemos:

$$ \sup{x \in [0, 1)} \left|\sum{k=1}^\infty \frac{x^k}{1+x^k} - \sum{k=1}^n\frac{x^k}{1+x^k}\right| = \sup{x \in [0, 1)} \sum_{k=n+1}^\infty\frac{x^k}{1+x^k} \ge \frac{x_n^{n+1}}{1+x_n^{n+1}} = \frac{1-\frac1n}{2-\frac1n} \xrightarrow{n\to\infty} \frac12 $$

así que no convergen a $0$.

Answer 3

En general, si $\sum f_n$ converge uniformemente en un conjunto de $E,$ $\sup_E |f_n| \to 0.$ en nuestro problema tenemos

$$\sup{[0,1)} \frac{x^n}{1+x^n} \ge \sup{[0,1)} \frac{x^n}{2} = \frac{1}{2}.$$

Así la serie no converge uniformemente.