Deje $f : \mathbb (0,1) \to \mathbb R$ ser la derivada de alguna función $F$. Supongamos $f$ es de cuadrado integrable en $(0,1)$$\int_0^1 f(x)^2 \mathrm d x = 0$. Podemos concluir $f(x) =0$ todos los $x \in (0,1)$?
El punto es, por supuesto, que $f$ no tiene que ser continua. Desde el teorema del valor intermedio para los derivados, podemos concluir que si $f$ es distinto de cero en algún lugar, debe ser distinto de cero en una cantidad no numerable de puntos. Estos puntos forman algunos Lebesgue-nullset, pero vamos que la ruta no mucho, si nada en absoluto.
Sería interesante si la diferencia parecería dependiendo de si se ha formulado utilizando la integral de Lebesgue en lugar de la integral de Riemann. Cualquier ayuda es muy apreciada.
