Demostrar que $e^{\sum 1/p_k^2} > \pi/2$

Question

El $k$th prime es $p_k.$ Probar (si inclinados, y sin una máquina) que

$$\exp\left({\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{p_k^2}}\right) > \frac{\pi}{2} $$

Answer 1

Pensé ver una respuesta aquí, por medio de la primer función zeta, que parecía la correcta, así que yo no desarrollar mi respuesta. Pero como hay peticiones en los comentarios, aquí está:

Empezamos con Aaron sugerencia en los comentarios:

$$\exp\left( \sum_p \frac1{p^2}\right) = \prod_p \exp\left( \frac1{p^2}\right) > \prod_p \left( 1 + \frac1{p^2} \right) = \prod_p \left( \left(1 - \frac1{p^4}\right)\sum_n \frac1{p^{2n}}\right) = \left( \prod_p \sum_n \frac1{p^{2n}} \right) \prod_p \left(1 - \frac1{p^4} \right) = \frac{\pi^2}6 \prod_p \left( \sum_n \frac1{p^{4n}} \right)^{-1} = \frac{\pi^2}6 \frac{90}{\pi^4} = \frac{15}{\pi^2} $$

Todo $p$ rangos de números primos y $n$ rangos de números enteros no negativos. He utilizado el habitual de la suma de los productos de fórmula $\zeta(s) = \sum_n \frac1{n^s} = \prod_p \left( \sum_n \frac1{p^{ns}}\right)$, que sigue de (y es equivalente a) factorización única (y creo que es debido a Euler). También he usado conocido zeta valores de $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. (No sé una rápida prueba de la segunda de estas; la primera de la siguiente manera a partir de dos expansiones de $\iint_0^1 \frac{\mathrm d x\, \mathrm d y}{1 + xy}$, si mi memoria es correcta, y es en las Pruebas de el Libro de todos modos.)

Por desgracia, la estimación de $\frac{15}{\pi^2}$ da una respuesta un poco menos de $\frac{\pi}2$, pero ganaríamos si podíamos hacer hasta un factor de $(\frac\pi 2 - \frac{15}{\pi^2}) / (\frac{15}{\pi^2}) < 3.36\%$. Así que vamos a ver si podemos exprimir un poco más. En los comentarios asatzhh sugiere considerar valores explícitos para las pequeñas $p$. Tenemos: $$ \frac{\exp(\frac14)}{1 + \frac14} > 1.0272,\ \frac{\exp(\frac19)}{1 + \frac19} > 1.0057, \ \frac{\exp(\frac1{25})}{1 + \frac1{25}} > 1.0007 $$ que se puede obtener, por ejemplo, de la expansión de Taylor.

Por lo tanto nuestra estimación anterior es una subestimación, por lo menos $2.72\% + .57\% + .07\% = 3.38\%$. Esto completa la prueba.

Debo admitir que he estado recibiendo en los decimales de las expansiones de una calculadora, y redondeo en cualquier dirección que hace que la estimación peor. Así que no sé hasta qué momento usted necesita mirar en expansión de Taylor para obtener de ellos con la mano. Pero la expansión de Taylor de $\exp(x)$ converge muy rápidamente, y es fácil estimar su error. Y $\pi$ tiene muchas famosa serie de expansiones; ver http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80.

Answer 2

Esta respuesta es bastante similar a TenaliRaman y contiene los detalles de mis comentarios a la pregunta. La idea básica es que el "primer zeta función" es comparable con el logaritmo de la real zeta función, mediante el producto de Euler:

$$\zeta(s) = \sum_{n > 0} \frac{1}{n^s} = \prod_{\text{$p$ prime}} \frac{1}{1 - p^{-s}}.$$

Si tomamos el logaritmo, obtenemos (con algunos de los análisis necesarios para demostrar que la homomorphism propiedad se aplica a la infinita producto en este caso):

$$\log \zeta(s) = \sum_p \log \frac{1}{1 - p^{s}} = \sum_p \sum_{n > 0} \frac{(p^{s})^n}{n}.$$

La última igualdad es sólo un conocido de alimentación de la serie para $\log (1 - x)$:

$$\log (1 - x) = -\sum_{n > 0} \frac{x^n}{n}.$$

De todos modos, teniendo sólo el primer término de la $n$ suma en la ecuación anterior para cada una de las $p$, obtenemos

$$\log \zeta(s) > \sum_p p^{-s}.$$

Tomando $s = 2$ da el enunciado del problema, y utilizando el conocido valor de $\zeta(2) = \pi^2/6$, tenemos

$$\sum_p p^{-2} < \log \frac{\pi^2}{6} \iff \exp \sum_p \frac{1}{p^2} < \frac{\pi^2}{6}.$$

El lado derecho es mayor que $\pi/2$, por lo que esta desigualdad es coherente con el problema, pero sin una prueba de que la diferencia entre los dos lados de la desigualdad anterior es menos de $\pi^2/6 - \pi/2$, no terminarlo.

Answer 3

Un intento temprano de lo cual es claramente incorrecto. Hacer esto en un wiki de la comunidad, en caso de que alguien quiera tomar una puñalada en ella y ver si algo se puede salvar aquí.

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El exponente se llama como el Primer Zeta Función. De Mathworld [1], $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k^2} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \ln(\zeta(2k))$$ donde $\mu(n)$ es la función de Möbius y $\zeta(n)$ es la de Riemann zeta función. Por lo tanto, $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k^2} > \frac{\mu(1)}{1} \ln(\zeta(2)) = \ln\left( \frac{\pi^2}{6} \right)$$ $$\exp\left( \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k^2} \right) > \frac{\pi^2}{6} > \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

[1] http://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html