¿Son espacios de Hausdorff localmente compactos con la compactación de un punto homeomórficos necesariamente homeomórficos?

Question

Cuando practicar problemas examen calificado, he tenido problemas con éste. ¡Gracias por cualquier ayuda! ¿Es cierto que si el $1$-punto heterótica de dos localmente compacto de Hausdorff espacios $X$, $Y$ es homeomorfa, entonces $X$ y $Y$ son necesariamente homeomórficos? Dar una prueba o un contraejemplo, según corresponda.

Answer 1

Pensar siempre en los casos más sencillos primero! ¿Qué posible COMP un punto podría dar lugar a decir: [0,1]?

Answer 2

Sharkos la respuesta narra la historia de forma simple y elocuente. Creo que vale la pena señalar que a la inversa no tiene. Es decir, si $X$ $Y$ son homeomórficos, a continuación, sus respectivos punto de compactifications $\alpha X$ $\alpha Y$ será homeomórficos así. De hecho, vamos a $f:X\to Y$ ser un homeomorphism y deje $g:Y\hookrightarrow\alpha Y$ canónica de la inclusión. Mostrar que $g\circ f:X\to\alpha Y$ es continua e inyectiva. Desde $X$ es densa (cuando canónicamente incluido) en $\alpha X,$, entonces existe una única función continua $h:\alpha X\to\alpha Y$ cuya restricción a$X$$g\circ f$. Mostrar que $h$ es un homeomorphism. Usted puede necesitar considerar por separado el caso en que $X$$Y$, compacto y Hausdorff y el caso en que no son (uno es trivial).