Relación entre las ecuaciones diferenciales y las recursiones secuenciales

Question

Es obvio que existe una fuerte relación entre las recursiones lineales de secuencias y las ecuaciones diferenciales lineales. Los métodos comunes para resolverlas son casi idénticos. Por ejemplo, la solución general de

$$ a_{n+2} = 5 a_{n+1} - 6 a_n + 2^n (4n - 2) $$

es

$$a_n = 3^n A - 2^n (n^2 + 2n + B)$$

con constantes arbitrarias $A$ y $B$ ; si $a_0 = 1$ y $a_1 = 2$ fueron dados,

$$a_n = 6 \cdot 3^n - 2^n (n^2 + 2n + 5)$$

sería la única solución. En términos de ecuaciones diferenciales, la solución general de

$$ \frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} + 6 y = e^{2x} (4x - 2) $$

es

$$y(x) = e^{3x} A - e^{2x} (2x^2 + 2x + B),$$

o, si $y(0) = 1$ y $y'(0) = 2$ se dan,

$$y(x) = 2 \cdot e^{3x} - e^{2x} (2x^2 + 2x + 1).$$

Hay algunos paralelismos importantes, pero también hay diferencias. Aunque sé por qué esto funciona básicamente, es decir, que elevar $n$ por uno hace lo mismo a $n^3$ como diferencial con respecto a $x$ hace a $e^{3x}$ Mi pregunta es: ¿hay alguna conexión subyacente entre estas dos ecuaciones, algo que se me haya escapado? ¿O es sólo eso, que tienen algunas propiedades similares?

Answer 1

En efecto, existe una profunda conexión entre las dos ecuaciones, que es el punto de partida de la teoría de las funciones generadoras .

La conexión viene dada por la siguiente correspondencia uno a uno entre las secuencias de valor real y las series de potencias $$i \colon \mathbb R^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb R[[x]]$$ $$i((a_n)_n) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{a_n}{n!}x^n$$ que es un isomorfismo entre estos $\mathbb R$ -espacios vectoriales.

Utilizando este isomorfismo hacia atrás se puede dotar al espacio de secuencias de un producto, definido como $(a_n)_n \cdot (b_n)_n=(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k})_n$ y un operador de derivación, que coincide con el operador de desplazamiento: $\frac{d}{dx}((a_n)_n)=(a_{n+1})_n$ (es una cuenta fácil de verificar que $i\left(\frac{d}{dx}(a_n)_n\right)=\frac{d}{dx}i(a_n)_n$ ).

Puedes pensar en una ecuación recursiva como una secuencia de ecuaciones, parametrizadas por el índice $n$ que puedes fusionar en una ecuación cuyos términos son expresiones construidas a partir de secuencias utilizando la suma, la multiplicación, la multiplicación escalar y el operador de desplazamiento/derivación.

Por ejemplo, a partir de la ecuación recursiva de tu pregunta puedes obtener la siguiente ecuación $$\frac{d^2}{dx^2}(a_n)_n=5\frac{d}{dx}(a_n)_n -6 (a_n)_n+4(2^nn)_n-2(2^n)_n$$ que a través del isomorfismo $i$ dejando que $y=i(a_n)_n$ se convierte en $$\frac{d^2}{dx^2}y=5\frac{d}{dx}y-6y+4e^{2x}-2e^{2x}$$ que es la ecuación diferencial en su pregunta.

Como estas dos ecuaciones se corresponden a través de los isomorfismos $i$ las soluciones de las ecuaciones se corresponden unas con otras a través de $i$ también: si $(a_n)_n$ es una solución a la ecuación-secuencia entonces $i(a_n)_n$ es una solución de la ecuación diferencial.

Por ejemplo, si se toma la solución $a_n=6\cdot 3^n-2^n(n^2+2n+5)$ entonces $$i(a_n)_n = 6e^{3x}-e^{2x}(x^2+2x+5)\ .$$

Se podría decir mucho más sobre la generación de funciones, pero me temo que eso nos alejaría demasiado del ámbito de la cuestión.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Sí, se puede utilizar el operador de diferencia en una secuencia $$ \Delta(a_n) = a_{n+1} - a_n $$ para reescribir las relaciones de recurrencia en ecuaciones de diferencia que son un análogo discretizado de las ecuaciones diferenciales, con un método de solución similar. A modo de ejemplo, como $y'=y$ da lugar a una familia exponencial, $y=Ae^x$ Así que $\Delta(a_n) = a_n$ da lugar a una familia exponencial $a_n = A \cdot 2^n$

Para su relación de recurrencia, el análogo sería $$ \Delta^2(a_n) - 4\Delta(a_n) + 2a_n = 2^n(4n-2). $$

Answer 3

En realidad, existe un cálculo, denominado peculiarmente "escalas de tiempo", que contiene tanto las versiones discretas como las continuas, así como combinaciones y/o variaciones. En gran medida, las conexiones entre lo discreto y lo continuo se revelan en este cálculo.

Fue introducido inteligentemente por Hilger, y luego fue desarrollado por muchos otros, aunque realmente no produjo nada nuevo. Por ejemplo, los trabajos de Hilger son, en mi opinión, obras maravillosas, muy bien escritas y fáciles de leer aunque sean bastante técnicas, pero en realidad contienen una reformulación de lo que ya existía, con afirmaciones y pruebas unificadas.

Pero sí:

Las escalas de tiempo ayudan a revelar las similitudes entre el tiempo discreto y el continuo. (Ciertamente, hay muchas otras formas en las que se han notado las similitudes, aunque quizás no siempre de forma organizada).

Por otro lado, en realidad no:

Tomando como ejemplo los sistemas dinámicos, hay muchas diferencias entre el tiempo discreto y el continuo, como tipos de bifurcaciones que sólo se dan para uno de ellos, como propiedades topológicas globales que dependen de algo así como el teorema de la curva de Jordan, y como propiedades ergódicas que no se extienden a las suspensiones, por no hablar de que considerar sólo un $1$ -El tiempo dimensional es una restricción considerable (incluso para aplicaciones físicas), y por supuesto la teoría de las escalas de tiempo no aborda (ni puede abordar) ninguna de estas "objeciones".