¿Encontrar todos los n que $2^n + 3^n$ es divisible por $7$?

Question

Estoy tratando de hacer esto con mods. Sé que: $2^{3k+1} \equiv 1 \pmod 7$, $2^{3k+2} \equiv 4 \pmod 7$, $2^{3k} \equiv 6 \pmod 7$% y $3^{3k+1} \equiv 3 \pmod 7$, $3^{3k+2} \equiv 2 \pmod 7$, $3^{3k} \equiv 6 \pmod 7$, así que pensé que la respuesta sería que cuando $n$ es un múltiplo de $3$ desde entonces el $2^{3k} + 3^{3k} \equiv 1 + 6 \pmod 7$, pero no funciona para $n = 6$

Answer 1

Tenga en cuenta que $3^6\equiv 1$, no $6$. Usted realmente necesita hacer esto con exponentes $6k, 6k+1, 6k+2$ y así sucesivamente. Pequeño Teorema de Fermat dice que eso es suficiente.

Answer 2

Son de poderes de $2$ modulo $7$ $1,2,4,1,2,4,\cdots$ repitiendo cada $3$ y poderes de $3$ modulo $7$ $1,3,2,6,4,5,1,\cdots$ repitiendo cada $6$

Añadiendo estas secuencia da $n \equiv 3 \pmod{6}$ por lo que divide a $7$ $2^n+3^n$ si y sólo si $n=3+6m$ (para $ m \in \mathbb{N}_0$).

Answer 3

$2^{3}\equiv 8\equiv \color{red}1 \bmod 7$, razón por la cual obtener una longitud de ciclo de $3$ para potencias de $2 \bmod 7$. El ciclo se cierra sólo al llegar a $a^k\equiv 1$.

Sin embargo $3^3=27\equiv 6 \bmod 7$ significa que la duración del ciclo exponencial $3\bmod 7$ más de $3$. Pequeño Teorema de Fermat dice que cada ciclo longitud $\bmod 7$ (de números coprimos a $7$) deben dividir $6$, por lo que la longitud de ciclo $3$ debe ser $6$. (y de hecho $3^6 \equiv (3^3)^2\equiv 6^2 \equiv 36 \equiv 1 \bmod 7$).

Answer 4

Desde $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$, obtenemos que $$ an = 5a {n-1}-6a_ {n-2} $ es satisfecha por $a_n=2^n+3^n$. Desde $a_0\equiv2\pmod7$ y $a_1\equiv5\pmod7$, obtenemos el secuencia mod $7$: $$ \color{#C00}{2},\color{#C00}{5},6,\color{#090}{0},6,2,\color{#C00}{2},\color{#C00}{5}, $$ por lo tanto, la secuencia mod $7$ tiene período $6$. Por lo tanto, $$ n\equiv3\pmod6\iff2 ^ n +3 ^ n\equiv0\pmod7 $$

Answer 5

Necesitamos $$2^n+3^n\equiv0\pmod7\iff3^n\equiv-2^n\iff-1\equiv(3\cdot4)^n\equiv(-2)^n$$ using $2\cdot4\equiv1\pmod7\iff2^{-1}\equiv4$

$\implies(-2)^n\equiv-1\equiv(-2)^3\iff(-2)^{n-3}\equiv1$

$\implies n-3\equiv0\pmod6$ $(-2)^3\equiv-1,(-2)^6\equiv1$