Sé que para una matriz de $n×n$de % de $A$, el sistema $Ax=b$ tiene una solución única para todos los $b$ $\mathbb{R}^{n}$. Mi pregunta es: ¿Qué pasará cuando una matriz de $A$ $m\times n$? ¿Hace el sistema es soluble cada $b$ si es el rango de $A$ $n$?
Respuestas
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Leo Mito
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quasi
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Si la matriz de #% de $m{\,\times\,}n\;$% #% tiene rango $A\;$, la dimensión del espacio columna es $n$, por lo tanto, la dimensión de la $n$ $\text{im}(A)$, así $n$ es un subespacio adecuado de $\text{im}(A)$, si $\mathbb{R}^m$.
Se deduce que si $m >n$, siempre existe vectores $m > n$ tal que la ecuación de $b \in \mathbb{R}^m$ no es soluble.
Matteo
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De acuerdo a Rouché-Capelli Teorema, el sistema lineal tiene soluciones si y sólo si $A$ y el de la matriz ampliada $A|b$ (obtenido mediante la adición de $b$ $A$como una nueva columna) tienen el mismo rango, decir $r$. En ese caso, las soluciones son $\infty^{n-r}$, lo que significa que $r$ incógnitas puede ser explicitado en términos de las restantes $n-r$, que se puede ajustar a cualquier valor.
Así, por ejemplo, si usted toma el $A$ $m\times (m-1)$ y supongamos que (como usted dice en su pregunta) que $A$ rango $m-1$, que hay soluciones iff la matriz ampliada es singular (de lo contrario habría rango $m$).
