Utilizando el producto Cruz para encontrar el ángulo entre dos vectores en $\Bbb R^3$

Question

<blockquote> <p>Que $$u = \langle 1, −2, 3 \rangle \qquad \text{and} \qquad v = \langle −4, 5, 6 \rangle. Encontrar el ángulo entre $u$y $v$, primero por usar el producto de punto y luego utilizando el producto Cruz.</p> </blockquote> <p>He utilizado la fórmula: $U \cdot V = ||u|| \, ||v|| \cos \Delta$ y $83^\circ$ del producto de punto.</p> <p>Sin embargo, me he perdido como la forma de utilizar el producto Cruz para encontrar la respuesta.</p>

Answer 1

Sugerencia El producto Cruz cumple con %#% $||{\bf a} \times {\bf b}|| = ||{\bf a}|| \, ||{\bf b}|| \sin \theta,$ #% Dónde está el ángulo entre $\theta \in [0, \pi]$y $\bf a$.

(De hecho esta propiedad está muy cerca una de las comunes definiciones del producto Cruz; véase, por ejemplo, Defn. 7.4 de Dennis G. Zill, Michael R. Cullen (2006). Avanzadas de Ingeniería Matemática (3ro ed.). Jones & Bartlett Learning.)

Answer 2

Que el ángulo entre $u$ & $v$ $\alpha$, ahora el producto de punto se da como sigue $$u\cdot v=|u||v|\cos \alpha$$ $$\implies \cos \alpha=\frac{u\cdot v}{|u||v|}$$ $$=\frac{(1, -2, 3)\cdot (-4, 5, 6)}{|(1, -2, 3)||(-4, 5, 6)|}$$ $$\cos \alpha=\frac{-4-10+18}{\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}\sqrt{(-4)^2+(5)^2+(6)^2}}$$ $$\cos \alpha=\frac{4}{\sqrt{14\times 77}}$$ $$\implies \color{blue}{\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{4}{7\sqrt{22}}\right)\approx 83 ^ \circ} Cruz$$ % # de producto %#% es dado como sigue $$| u\times v|=\left|\begin{matrix} i&j&k\ 1&-2&3\-4&5&6 \end{matrix}\right|$|u\times v|$$ $=|-27i-18j-3k|$$=\sqrt{(-27)^2+(-18)^2+(-3)^2}=\sqrt{1062}=3\sqrt{118}$alpha$Now, using cross product, the angle$u$between$v$&$$is given as follows$$u\times v=|u||v|\sin \alpha(\hat n)$\implies |u\times v|=||u||v||\sin \alpha $$$\implies \sin\alpha=\frac{|u\times v|}{|u||v|}$$ %#% $ #% tu respuesta es correcta