Todos los conjuntos infinitos que conozco son infinito numerable o uncountably infinito. Esto me lleva a formular la siguiente pregunta:
¿No es allí cualquier infinito S s.t. existe ninguna biyección entre S y $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Z}$?
Respuestas
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Todos los conjuntos son contables o incontables.
Sin embargo, por ejemplo, $S=\mathcal{P}(\mathbb{R})$ va a satisfacer su última pregunta. Es bien sabido que, dado cualquier conjunto de $X$, la cardinalidad de su poder establecer $\mathcal{P}(X)$ es estrictamente mayor que la cardinalidad de a $X$. Desde $|\mathbb{Z}| < |\mathbb{R}| < |\mathcal{P}(\mathbb{R})|$, establecimiento $S=\mathcal{P}(\mathbb{R})$ le da un conjunto que bijects con ni $\mathbb{Z}$ ni $\mathbb{R}$.
Si usted está buscando un conjunto que es incontable, pero menor que $\mathbb{R}$, entonces usted está pidiendo una solución a la hipótesis continua, que es (seguramente) no demostrable a partir de la ZF(C) los axiomas de la teoría de conjuntos.
Tener en cuenta 'innumerables' realmente significa "no contables"; ciertamente, no significa necesariamente que " al menos tan grande como $\mathbb{R}$'.
DanV
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Cada conjunto es finito o infinito. Por qué? Porque tenemos una cierta definición de "finito" y definimos como "infinito" como "no" finita. Del mismo modo, tenemos una definición para "contables", y definimos como "innumerables" como "no contable".
Sin embargo, muy similar a la que tienen diferentes tamaños de infinito (al menos dos, que usted sepa, pero en realidad hay muchos más), diciendo que un conjunto no es "finito" no revelan nada acerca de su cardinalidad. Así, sólo que no es finito. Y lo mismo va para uncountability. Cuando decimos que un conjunto es incontable no tenemos ninguna otra información acerca de su cardinalidad, aparte del hecho de que no es contable.
Generalmente,$^1$ cardenales son denotados por $\aleph$ números, y así tenemos el $\aleph_0$ es la primera infinito cardenal, $\aleph_1$ es el primer innumerables cardenal, $\aleph_2$ es el tercer infinito cardenal, y el segundo innumerables cardenal, y así sucesivamente. Y tenemos una operación que dar un cardenal, nos da su sucesor (es decir, el menor cardinal mayor que él). Y también tenemos el cardenal exponenciación, por ejemplo, sabemos que para calcular el $$|\Bbb R|=|\mathcal P(\Bbb N)|=2^{\aleph_0}.$$
No podemos, sin embargo, de la habitual axiomas$^2$ de la teoría de conjuntos (y ciertamente no cuando trabajamos en la ingenua teoría de conjuntos) demostrar de manera concluyente qué es exactamente $\aleph$ número de $2^{\aleph_0}$ (y de eso se trata, no de cualquier cardenal exponenciación). Así es posible tener $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, en cuyo caso los números reales tienen la más mínima innumerables cardinalidad, pero también es posible tener $2^{\aleph_0}=\aleph_2$, o casi cualquier otro valor (casi porque sabemos a descartar algunos de los posibles valores, pero muy poco de ellos). La afirmación de $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ es conocida como La Hipótesis continua.
Supongamos ahora que tenemos que $2^{\aleph_0}=\aleph_2$, entonces significa que no es un subconjunto de a $\Bbb R$ de cardinalidad $\aleph_1$ (debido a $\aleph_1<\aleph_2$). Este subconjunto es incontable, pero es más pequeño (en términos de cardinalidad) de los números reales ellos mismos.
Para concluir este paseo, innumerables significa, simplemente, "no contables" y hay muchos tipos diferentes de innumerables cardenales. Es posible que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, en cuyo caso cada innumerables subconjunto de los números reales tienen la misma cardinalidad como los números reales, pero también es posible tener $2^{\aleph_0}$ mucho mayor, en cuyo caso hay innumerables conjuntos de números reales, de diferentes tamaños. La Hipótesis continua no puede ser probada ni refutada mediante el habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos, y con el fin de resolver esto tenemos que añadir más axiomas a nuestro sistema.
Y, por supuesto, lo $\aleph_\alpha=2^{\aleph_0}$, su sucesor, el cardenal $\aleph_{\alpha+1}$, es estrictamente mayor.
Leer más.
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- ¿Por qué es CH true en caso de que no se puede demostrar?
- ¿Por qué es la Hipótesis continua (no) cierto?
- hay una cardinalidad entre lo racional y lo irrationals?
Notas a pie de página.
Estoy escribiendo porque normalmente nos suelen asumir el axioma de elección, lo cual es equivalente a (entre otras cosas) a la suposición de que todo conjunto puede ser bien ordenado, por lo que cada cardenal es un $\aleph$ número. Sin el axioma de elección, los cardenales se vuelven aún más loco, y ni siquiera podemos decidir si o no $2^{\aleph_0}$ $\aleph$ número.
Podemos formular la hipótesis continua en varios estados que no son formas equivalentes sin el axioma de elección, ver Cómo formular hipótesis continua sin el axioma de elección? para obtener más información.
La habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos se toman como $\sf ZFC$ aquí. Estos axiomas son bastante fuertes y nos permiten probar un montón de cosas, pero no el valor exacto de la cardinalidad del continuo. Hay varias extensiones naturales que decide la cardinalidad del continuo, y a veces se nos acaba de añadir una explícita axioma diciendo que $2^{\aleph_0}$ es igual a tal y tal.
