Tengo que minimizar $e_1^2+e_2^2+e_3^2$ a $\mathbf{e}^\top \mathbf{A} \mathbf{e} + \mathbf{e}^\top \mathbf{b} +c =0$
$\mathbf{e} = [e_1, e_2, e_3]^\top$
Sé que $\mathbf{A}$ de la matriz es positivo semidefinite.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Rob Dickerson
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Supongamos que usted tiene un genérico cuadrática programa $$\min_{\mathbf{x}}\, \frac{1}{2}\mathbf{x}^TA\mathbf{x} + \mathbf{b}^T\mathbf{x} \quad \mathrm{s.t.}\quad \mathbf{x}^TC\mathbf{x} + \mathbf{d}^T\mathbf{x}+e = 0,\tag{1}$$ con $A$ positivo-definida e $C$ positivo-semidefinite. En primer lugar, usted puede completar el cuadrado en la función objetivo, y soltar el término constante: $$\min_{\mathbf{x}}\, \frac{1}{2}(\mathbf{x} + A^{-1}\mathbf{b})^TA(\mathbf{x} + A^{-1}\mathbf{b}) \quad \mathrm{s.t.}\quad \mathbf{x}^TC\mathbf{x} + \mathbf{d}^T\mathbf{x}+e = 0.$$ Ahora hacer la sustitución $\mathbf{y} = A^{1/2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})$ (nota aquí nos implícitamente utilice el hecho de que $A$ es positivo-definida). La solución para $\mathbf{x}$ da $$\mathbf{x} = A^{-1/2}\mathbf{y} - A^{-1}\mathbf{b},$$ y \begin{align*} \mathbf{x}^TC\mathbf{x} + \mathbf{d}^T\mathbf{x} + e &= \mathbf{y}^T\left[A^{-1/2}CA^{-1/2}\right]\mathbf{y} + \left[-2\mathbf{b}^TA^{-1}CA^{-1/2} + \mathbf{d}^TA^{-1/2}\right]\mathbf{y} + \mathbf{b}^TA^{-1}CA^{-1}+e\\ &= \mathbf{y}^T\tilde{C}\mathbf{y} + \tilde{\mathbf{d}}^T\mathbf{y} + \tilde{e}, \end{align*} donde $\tilde{C}$ es claramente positivo-semidefinite. Por lo tanto, cualquier problema de la forma (1) es equivalente a $$\min_{\mathbf{y}} \frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\quad\mathrm{s.t.}\quad \mathbf{y}^T\tilde{C}\mathbf{y} + \tilde{\mathbf{d}}^T\mathbf{y} + \tilde{e} = 0,$$ cual es exactamente tu problema. De modo que su formulación no es más fácil que la solución de una arbitraria QCQP con una restricción de igualdad, que no es convexo y no tiene una forma cerrada de la solución. Usted puede tratar de resolver numéricamente el uso de paquetes como MOSEK.
Con el fin de tener una forma cerrada de la solución que usted necesita más restricciones en el problema, por ejemplo, el término lineal en la restricción de fuga.
EDIT: al principio me faltó que la restricción cuadrática es una igualdad en lugar de la desigualdad, por lo que el problema no es que incluso convexo.
