La convolución de funciones en el espacio de Schwartz se encuentra en el espacio de Schwartz

Question

Estoy leyendo Fourier Analysis por Rami Shakarchi y Elia.M.Stein. Cuando empecé a leer el capítulo sobre la Transformada de Fourier en R me encontré con desigualdades muy difíciles. Una de ellas me llevó mucho tiempo demostrarla. Ahora estoy con una de ellas. He probado muchas cosas como la desigualdad del triángulo, el binomio de Newton, etc. Agradecería alguna ayuda. El problema es el siguiente:

En el contexto de demostrar que la convolución de dos funciones en el Espacio de Schwartz se encuentra de nuevo en el Espacio de Schwartz es necesario demostrar que si una función $g$ pertenece al espacio entonces se cumple la siguiente desigualdad:

$$|x|^l |g(x-y)| \leq A_l(1 + |y|)^l \ \forall \ l \geq 0$$ Recuerda, $S(\mathbb{R})$ el espacio de Schwartz, es el conjunto de funciones $f$ tal que $sup |x|^l|f^{(k)}(x)| < \infty \ \forall \ k,l$

El libro da una pista, dice que considera los casos $|x|> 2|y|$ y $|x|<2|y|$ .

Gracias

Answer 1

Recordemos la siguiente desigualdad trivial; $$\lvert x\rvert ^{l} \leq \left(\, \lvert x-y \rvert \, + \lvert y \rvert \, \right)^{l}\leq (2\max(\, \lvert x-y\rvert, \, \lvert y \rvert \, )\, )^{l} \leq\, 2^{l} \, \lvert x-y\rvert^{l} + 2^{l}\, \lvert y \rvert ^{l} \qquad \forall l\geq 0$$

Set $$C_{l} := \sup_{x\in\mathbb{R} } \, \lvert x\lvert ^{l} \,\lvert g(x) \, \rvert <\infty \qquad \forall l\geq 0$$

Ahora, utilizando la estimación anterior, obtenemos $$\lvert x \rvert^{l} \, \lvert g(x-y) \rvert \leq 2^{l} \, \lvert x-y\rvert^{l} \, \rvert g(x-y)\rvert + 2^{l}\, \lvert y \rvert^{l} \, \lvert g(x-y) \rvert \leq \\ 2^{l}\, C_{l}+ 2^{l} \, C_{0} \, \lvert y \rvert^{l} \leq \underbrace{2^{l}(C_{l}+C_{0})}_{=A_{l}}\, (1+\lvert y\rvert)^{l}$$

Esto establece la desigualdad deseada. Para terminar la prueba por completo podemos escribir $$ \lvert x \rvert^{l} \, \lvert (g\ast f)(x) \rvert \leq \int _{\mathbb{R}} \lvert x \rvert^{l} \, \lvert g(x-y) \rvert \, \lvert f(y) \rvert \, dy \leq A_{l} \int_{\mathbb{R}} (1+\lvert y \rvert )^{l+2} \, \lvert f(y) \rvert \frac{dy}{(1+\lvert y \rvert)^{2}} \leq \\ A_{l} \, C_{l+2} \,\int_{\mathbb{R}} \frac{dy}{(1+\lvert y \rvert)^{2}}< \infty $$ Dado que el límite es independiente de $x\in \mathbb{R}$ La reclamación que sigue es la siguiente.